Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1088 / 64
↖ ↑ ↗
← N 84.541361°
W 84.375000°		 ← 929.68 m → N 84.541361°
W 84.287110°		 →
↑
930.36 m
↓
↑
930.36 m
↓
N 84.532994°
W 84.375000°		 ← 931.10 m →
865 592 m²		 N 84.532994°
W 84.287110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2657470703125 y=0.0157470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2657470703125 × 212)
    floor (0.2657470703125 × 4096)
    floor (1088.5)     		tx = 1088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0157470703125 × 212)
    floor (0.0157470703125 × 4096)
    floor (64.5)     		ty = 64
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1088 / 64 ti = "12/1088/64"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1088/64.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1088 ÷ 212
    1088 ÷ 4096     		x = 0.265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64 ÷ 212
    64 ÷ 4096     		y = 0.015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265625 × 2 - 1) × π
    -0.46875 × 3.1415926535     		Λ = -1.47262156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.015625 × 2 - 1) × π
    0.96875 × 3.1415926535     		Φ = 3.04341788307813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47262156} λ = -1.47262156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.04341788307813))-π/2
    2×atan(20.9768171581636)-π/2
    2×1.52316071581509-π/2
    3.04632143163018-1.57079632675     		φ = 1.47552510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47262156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47552510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.541361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1088 KachelY 64 -1.47262156 1.47552510 -84.375000 84.541361
    Oben rechts KachelX + 1 1089 KachelY 64 -1.47108758 1.47552510 -84.287110 84.541361
    Unten links KachelX 1088 KachelY + 1 65 -1.47262156 1.47537907 -84.375000 84.532994
    Unten rechts KachelX + 1 1089 KachelY + 1 65 -1.47108758 1.47537907 -84.287110 84.532994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47552510-1.47537907) × R
    0.000146030000000019 × 6371000     		dl = 930.357130000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47552510-1.47537907) × R
    0.000146030000000019 × 6371000     		dr = 930.357130000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47262156--1.47108758) × cos(1.47552510) × R
    0.00153398000000005 × 0.0951271689464025 × 6371000     		do = 929.676545506612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47262156--1.47108758) × cos(1.47537907) × R
    0.00153398000000005 × 0.0952725357042943 × 6371000     		du = 931.097212880667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47552510)-sin(1.47537907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0951271689464025-0.0952725357042943)×R²
    abs(-1.47108758--1.47262156)×0.000145366757891854×R²
    0.00153398000000005×0.000145366757891854×6371000²
    0.00153398000000005×0.000145366757891854×40589641000000     		ar = 865592.068258108m²