Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108794 / 100022
↖ ↑ ↗
← S 68.324234°
E118.811645°		 ← 112.81 m → S 68.324234°
E118.814392°		 →
↑
112.77 m
↓
↑
112.77 m
↓
S 68.325248°
E118.811645°		 ← 112.81 m →
12 721 m²		 S 68.325248°
E118.814392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830036163330078 y=0.763111114501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830036163330078 × 217)
    floor (0.830036163330078 × 131072)
    floor (108794.5)     		tx = 108794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763111114501953 × 217)
    floor (0.763111114501953 × 131072)
    floor (100022.5)     		ty = 100022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108794 / 100022 ti = "17/108794/100022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108794/100022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108794 ÷ 217
    108794 ÷ 131072     		x = 0.830032348632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100022 ÷ 217
    100022 ÷ 131072     		y = 0.763107299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830032348632812 × 2 - 1) × π
    0.660064697265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.07365440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763107299804688 × 2 - 1) × π
    -0.526214599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65315192029726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07365440} λ = 2.07365440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65315192029726))-π/2
    2×atan(0.191445535583858)-π/2
    2×0.189156745820956-π/2
    0.378313491641912-1.57079632675     		φ = -1.19248284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07365440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.811645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19248284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.324234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108794 KachelY 100022 2.07365440 -1.19248284 118.811645 -68.324234
    Oben rechts KachelX + 1 108795 KachelY 100022 2.07370234 -1.19248284 118.814392 -68.324234
    Unten links KachelX 108794 KachelY + 1 100023 2.07365440 -1.19250054 118.811645 -68.325248
    Unten rechts KachelX + 1 108795 KachelY + 1 100023 2.07370234 -1.19250054 118.814392 -68.325248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19248284--1.19250054) × R
    1.76999999998984e-05 × 6371000     		dl = 112.766699999352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19248284--1.19250054) × R
    1.76999999998984e-05 × 6371000     		dr = 112.766699999352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07365440-2.07370234) × cos(-1.19248284) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369353737475048 × 6371000     		do = 112.810138590008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07365440-2.07370234) × cos(-1.19250054) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369337289004071 × 6371000     		du = 112.805114803588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19248284)-sin(-1.19250054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369353737475048-0.369337289004071)×R²
    abs(2.07370234-2.07365440)×1.64484709764823e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64484709764823e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64484709764823e-05×40589641000000     		ar = 12720.9437978184m²