Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108788 / 100340
↖ ↑ ↗
← S 68.644556°
E118.795166°		 ← 111.22 m → S 68.644556°
E118.797913°		 →
↑
111.17 m
↓
↑
111.17 m
↓
S 68.645556°
E118.795166°		 ← 111.22 m →
12 365 m²		 S 68.645556°
E118.797913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829990386962891 y=0.765537261962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829990386962891 × 217)
    floor (0.829990386962891 × 131072)
    floor (108788.5)     		tx = 108788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765537261962891 × 217)
    floor (0.765537261962891 × 131072)
    floor (100340.5)     		ty = 100340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108788 / 100340 ti = "17/108788/100340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108788/100340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108788 ÷ 217
    108788 ÷ 131072     		x = 0.829986572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100340 ÷ 217
    100340 ÷ 131072     		y = 0.765533447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829986572265625 × 2 - 1) × π
    0.65997314453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.07336678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765533447265625 × 2 - 1) × π
    -0.53106689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66839585437643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07336678} λ = 2.07336678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66839585437643))-π/2
    2×atan(0.188549283681308)-π/2
    2×0.186361404664302-π/2
    0.372722809328604-1.57079632675     		φ = -1.19807352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07336678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.795166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19807352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.644556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108788 KachelY 100340 2.07336678 -1.19807352 118.795166 -68.644556
    Oben rechts KachelX + 1 108789 KachelY 100340 2.07341472 -1.19807352 118.797913 -68.644556
    Unten links KachelX 108788 KachelY + 1 100341 2.07336678 -1.19809097 118.795166 -68.645556
    Unten rechts KachelX + 1 108789 KachelY + 1 100341 2.07341472 -1.19809097 118.797913 -68.645556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19807352--1.19809097) × R
    1.74500000000855e-05 × 6371000     		dl = 111.173950000544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19807352--1.19809097) × R
    1.74500000000855e-05 × 6371000     		dr = 111.173950000544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07336678-2.07341472) × cos(-1.19807352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.364152635610837 × 6371000     		do = 111.221588204317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07336678-2.07341472) × cos(-1.19809097) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.364136383684926 × 6371000     		du = 111.21662444782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19807352)-sin(-1.19809097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364152635610837-0.364136383684926)×R²
    abs(2.07341472-2.07336678)×1.62519259108151e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62519259108151e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62519259108151e-05×40589641000000     		ar = 12364.6673660033m²