Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108781 / 100339
↖ ↑ ↗
← S 68.643556°
E118.775940°		 ← 111.23 m → S 68.643556°
E118.778686°		 →
↑
111.24 m
↓
↑
111.24 m
↓
S 68.644556°
E118.775940°		 ← 111.22 m →
12 372 m²		 S 68.644556°
E118.778686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829936981201172 y=0.765529632568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829936981201172 × 217)
    floor (0.829936981201172 × 131072)
    floor (108781.5)     		tx = 108781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765529632568359 × 217)
    floor (0.765529632568359 × 131072)
    floor (100339.5)     		ty = 100339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108781 / 100339 ti = "17/108781/100339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108781/100339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108781 ÷ 217
    108781 ÷ 131072     		x = 0.829933166503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100339 ÷ 217
    100339 ÷ 131072     		y = 0.765525817871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829933166503906 × 2 - 1) × π
    0.659866333007812 × 3.1415926535     		Λ = 2.07303122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765525817871094 × 2 - 1) × π
    -0.531051635742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.66834791747681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07303122} λ = 2.07303122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66834791747681))-π/2
    2×atan(0.188558322366034)-π/2
    2×0.186370133033368-π/2
    0.372740266066735-1.57079632675     		φ = -1.19805606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07303122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.775940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19805606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.643556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108781 KachelY 100339 2.07303122 -1.19805606 118.775940 -68.643556
    Oben rechts KachelX + 1 108782 KachelY 100339 2.07307916 -1.19805606 118.778686 -68.643556
    Unten links KachelX 108781 KachelY + 1 100340 2.07303122 -1.19807352 118.775940 -68.644556
    Unten rechts KachelX + 1 108782 KachelY + 1 100340 2.07307916 -1.19807352 118.778686 -68.644556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19805606--1.19807352) × R
    1.74599999998026e-05 × 6371000     		dl = 111.237659998743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19805606--1.19807352) × R
    1.74599999998026e-05 × 6371000     		dr = 111.237659998743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07303122-2.07307916) × cos(-1.19805606) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.364168896739191 × 6371000     		do = 111.226554771478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07303122-2.07307916) × cos(-1.19807352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.364152635610837 × 6371000     		du = 111.221588204317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19805606)-sin(-1.19807352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364168896739191-0.364152635610837)×R²
    abs(2.07307916-2.07303122)×1.62611283544001e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62611283544001e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62611283544001e-05×40589641000000     		ar = 12372.3054481078m²