Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108777 / 100345
↖ ↑ ↗
← S 68.649556°
E118.764954°		 ← 111.17 m → S 68.649556°
E118.767700°		 →
↑
111.17 m
↓
↑
111.17 m
↓
S 68.650556°
E118.764954°		 ← 111.17 m →
12 359 m²		 S 68.650556°
E118.767700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829906463623047 y=0.765575408935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829906463623047 × 217)
    floor (0.829906463623047 × 131072)
    floor (108777.5)     		tx = 108777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765575408935547 × 217)
    floor (0.765575408935547 × 131072)
    floor (100345.5)     		ty = 100345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108777 / 100345 ti = "17/108777/100345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108777/100345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108777 ÷ 217
    108777 ÷ 131072     		x = 0.829902648925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100345 ÷ 217
    100345 ÷ 131072     		y = 0.765571594238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829902648925781 × 2 - 1) × π
    0.659805297851562 × 3.1415926535     		Λ = 2.07283948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765571594238281 × 2 - 1) × π
    -0.531143188476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.66863553887453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07283948} λ = 2.07283948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66863553887453))-π/2
    2×atan(0.1885040967564)-π/2
    2×0.186317768663786-π/2
    0.372635537327572-1.57079632675     		φ = -1.19816079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07283948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.764954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19816079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.649556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108777 KachelY 100345 2.07283948 -1.19816079 118.764954 -68.649556
    Oben rechts KachelX + 1 108778 KachelY 100345 2.07288741 -1.19816079 118.767700 -68.649556
    Unten links KachelX 108777 KachelY + 1 100346 2.07283948 -1.19817824 118.764954 -68.650556
    Unten rechts KachelX + 1 108778 KachelY + 1 100346 2.07288741 -1.19817824 118.767700 -68.650556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19816079--1.19817824) × R
    1.74500000000855e-05 × 6371000     		dl = 111.173950000544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19816079--1.19817824) × R
    1.74500000000855e-05 × 6371000     		dr = 111.173950000544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07283948-2.07288741) × cos(-1.19816079) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.364071356245107 × 6371000     		do = 111.173568407927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07283948-2.07288741) × cos(-1.19817824) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.364055103764717 × 6371000     		du = 111.168605517523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19816079)-sin(-1.19817824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364071356245107-0.364055103764717)×R²
    abs(2.07288741-2.07283948)×1.6252480390555e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6252480390555e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6252480390555e-05×40589641000000     		ar = 12359.3288638866m²