Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 10877 / 23427
↖ ↑ ↗
← S 60.946442°
W 60.501709°		 ← 593.23 m → S 60.946442°
W 60.490723°		 →
↑
593.20 m
↓
↑
593.20 m
↓
S 60.951777°
W 60.501709°		 ← 593.13 m →
351 877 m²		 S 60.951777°
W 60.490723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.331954956054688 y=0.714950561523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.331954956054688 × 215)
    floor (0.331954956054688 × 32768)
    floor (10877.5)     		tx = 10877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.714950561523438 × 215)
    floor (0.714950561523438 × 32768)
    floor (23427.5)     		ty = 23427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 10877 / 23427 ti = "15/10877/23427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/10877/23427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10877 ÷ 215
    10877 ÷ 32768     		x = 0.331939697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23427 ÷ 215
    23427 ÷ 32768     		y = 0.714935302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.331939697265625 × 2 - 1) × π
    -0.33612060546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.05595402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.714935302734375 × 2 - 1) × π
    -0.42987060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.35047833609622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05595402} λ = -1.05595402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35047833609622))-π/2
    2×atan(0.259116286324691)-π/2
    2×0.253540123273763-π/2
    0.507080246547527-1.57079632675     		φ = -1.06371608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05595402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.501709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06371608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.946442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10877 KachelY 23427 -1.05595402 -1.06371608 -60.501709 -60.946442
    Oben rechts KachelX + 1 10878 KachelY 23427 -1.05576228 -1.06371608 -60.490723 -60.946442
    Unten links KachelX 10877 KachelY + 1 23428 -1.05595402 -1.06380919 -60.501709 -60.951777
    Unten rechts KachelX + 1 10878 KachelY + 1 23428 -1.05576228 -1.06380919 -60.490723 -60.951777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06371608--1.06380919) × R
    9.31099999998963e-05 × 6371000     		dl = 593.20380999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06371608--1.06380919) × R
    9.31099999998963e-05 × 6371000     		dr = 593.20380999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05595402--1.05576228) × cos(-1.06371608) × R
    0.000191739999999996 × 0.485626971086044 × 6371000     		do = 593.230029442985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05595402--1.05576228) × cos(-1.06380919) × R
    0.000191739999999996 × 0.485545575371555 × 6371000     		du = 593.130598429105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06371608)-sin(-1.06380919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485626971086044-0.485545575371555)×R²
    abs(-1.05576228--1.05595402)×8.13957144890631e-05×R²
    0.000191739999999996×8.13957144890631e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.13957144890631e-05×40589641000000     		ar = 351876.82249829m²