Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108769 / 100033
↖ ↑ ↗
← S 68.335390°
E118.742981°		 ← 112.75 m → S 68.335390°
E118.745728°		 →
↑
112.77 m
↓
↑
112.77 m
↓
S 68.336404°
E118.742981°		 ← 112.75 m →
12 715 m²		 S 68.336404°
E118.745728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829845428466797 y=0.763195037841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829845428466797 × 217)
    floor (0.829845428466797 × 131072)
    floor (108769.5)     		tx = 108769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763195037841797 × 217)
    floor (0.763195037841797 × 131072)
    floor (100033.5)     		ty = 100033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108769 / 100033 ti = "17/108769/100033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108769/100033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108769 ÷ 217
    108769 ÷ 131072     		x = 0.829841613769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100033 ÷ 217
    100033 ÷ 131072     		y = 0.763191223144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829841613769531 × 2 - 1) × π
    0.659683227539062 × 3.1415926535     		Λ = 2.07245598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763191223144531 × 2 - 1) × π
    -0.526382446289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.65367922619308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07245598} λ = 2.07245598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65367922619308))-π/2
    2×atan(0.191344611835398)-π/2
    2×0.189059388474124-π/2
    0.378118776948249-1.57079632675     		φ = -1.19267755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07245598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.742981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19267755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.335390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108769 KachelY 100033 2.07245598 -1.19267755 118.742981 -68.335390
    Oben rechts KachelX + 1 108770 KachelY 100033 2.07250392 -1.19267755 118.745728 -68.335390
    Unten links KachelX 108769 KachelY + 1 100034 2.07245598 -1.19269525 118.742981 -68.336404
    Unten rechts KachelX + 1 108770 KachelY + 1 100034 2.07250392 -1.19269525 118.745728 -68.336404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19267755--1.19269525) × R
    1.77000000001204e-05 × 6371000     		dl = 112.766700000767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19267755--1.19269525) × R
    1.77000000001204e-05 × 6371000     		dr = 112.766700000767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07245598-2.07250392) × cos(-1.19267755) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369172788637516 × 6371000     		do = 112.754872157403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07245598-2.07250392) × cos(-1.19269525) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36915633889395 × 6371000     		du = 112.749847982302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19267755)-sin(-1.19269525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369172788637516-0.36915633889395)×R²
    abs(2.07250392-2.07245598)×1.64497435650723e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64497435650723e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64497435650723e-05×40589641000000     		ar = 12714.7115628925m²