Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108763 / 100029
↖ ↑ ↗
← S 68.331334°
E118.726501°		 ← 112.77 m → S 68.331334°
E118.729248°		 →
↑
112.77 m
↓
↑
112.77 m
↓
S 68.332348°
E118.726501°		 ← 112.77 m →
12 717 m²		 S 68.332348°
E118.729248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829799652099609 y=0.763164520263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829799652099609 × 217)
    floor (0.829799652099609 × 131072)
    floor (108763.5)     		tx = 108763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763164520263672 × 217)
    floor (0.763164520263672 × 131072)
    floor (100029.5)     		ty = 100029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108763 / 100029 ti = "17/108763/100029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108763/100029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108763 ÷ 217
    108763 ÷ 131072     		x = 0.829795837402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100029 ÷ 217
    100029 ÷ 131072     		y = 0.763160705566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829795837402344 × 2 - 1) × π
    0.659591674804688 × 3.1415926535     		Λ = 2.07216836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763160705566406 × 2 - 1) × π
    -0.526321411132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.6534874785946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07216836} λ = 2.07216836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6534874785946))-π/2
    2×atan(0.191381305223022)-π/2
    2×0.189094785625772-π/2
    0.378189571251543-1.57079632675     		φ = -1.19260676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07216836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.726501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19260676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.331334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108763 KachelY 100029 2.07216836 -1.19260676 118.726501 -68.331334
    Oben rechts KachelX + 1 108764 KachelY 100029 2.07221630 -1.19260676 118.729248 -68.331334
    Unten links KachelX 108763 KachelY + 1 100030 2.07216836 -1.19262446 118.726501 -68.332348
    Unten rechts KachelX + 1 108764 KachelY + 1 100030 2.07221630 -1.19262446 118.729248 -68.332348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19260676--1.19262446) × R
    1.76999999998984e-05 × 6371000     		dl = 112.766699999352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19260676--1.19262446) × R
    1.76999999998984e-05 × 6371000     		dr = 112.766699999352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07216836-2.07221630) × cos(-1.19260676) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369238577161796 × 6371000     		do = 112.774965666115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07216836-2.07221630) × cos(-1.19262446) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369222127880829 × 6371000     		du = 112.769941632303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19260676)-sin(-1.19262446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369238577161796-0.369222127880829)×R²
    abs(2.07221630-2.07216836)×1.64492809667238e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64492809667238e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64492809667238e-05×40589641000000     		ar = 12716.9774493084m²