Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10876 / 6745
↖ ↑ ↗
← N 80.567246°
W120.256347°		 ← 100.10 m → N 80.567246°
W120.250855°		 →
↑
100.09 m
↓
↑
100.09 m
↓
N 80.566346°
W120.256347°		 ← 100.11 m →
10 020 m²		 N 80.566346°
W120.250855°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165962219238281 y=0.102928161621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165962219238281 × 216)
    floor (0.165962219238281 × 65536)
    floor (10876.5)     		tx = 10876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102928161621094 × 216)
    floor (0.102928161621094 × 65536)
    floor (6745.5)     		ty = 6745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10876 / 6745 ti = "16/10876/6745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10876/6745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10876 ÷ 216
    10876 ÷ 65536     		x = 0.16595458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6745 ÷ 216
    6745 ÷ 65536     		y = 0.102920532226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16595458984375 × 2 - 1) × π
    -0.6680908203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.09886921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102920532226562 × 2 - 1) × π
    0.794158935546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.49492387762544
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09886921} λ = -2.09886921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49492387762544))-π/2
    2×atan(12.1208108185698)-π/2
    2×1.48848002501259-π/2
    2.97696005002517-1.57079632675     		φ = 1.40616372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09886921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.256347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40616372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.567246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10876 KachelY 6745 -2.09886921 1.40616372 -120.256347 80.567246
    Oben rechts KachelX + 1 10877 KachelY 6745 -2.09877334 1.40616372 -120.250855 80.567246
    Unten links KachelX 10876 KachelY + 1 6746 -2.09886921 1.40614801 -120.256347 80.566346
    Unten rechts KachelX + 1 10877 KachelY + 1 6746 -2.09877334 1.40614801 -120.250855 80.566346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40616372-1.40614801) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dl = 100.088410000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40616372-1.40614801) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dr = 100.088410000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09886921--2.09877334) × cos(1.40616372) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163889916512284 × 6371000     		do = 100.101956632022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09886921--2.09877334) × cos(1.40614801) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163905414071399 × 6371000     		du = 100.111422351594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40616372)-sin(1.40614801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163889916512284-0.163905414071399)×R²
    abs(-2.09877334--2.09886921)×1.54975591145634e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.54975591145634e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.54975591145634e-05×40589641000000     		ar = 10019.5193818524m²