Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108752 / 100368
↖ ↑ ↗
← S 68.672544°
E118.696289°		 ← 111.08 m → S 68.672544°
E118.699036°		 →
↑
111.05 m
↓
↑
111.05 m
↓
S 68.673542°
E118.696289°		 ← 111.08 m →
12 335 m²		 S 68.673542°
E118.699036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829715728759766 y=0.765750885009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829715728759766 × 217)
    floor (0.829715728759766 × 131072)
    floor (108752.5)     		tx = 108752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765750885009766 × 217)
    floor (0.765750885009766 × 131072)
    floor (100368.5)     		ty = 100368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108752 / 100368 ti = "17/108752/100368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108752/100368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108752 ÷ 217
    108752 ÷ 131072     		x = 0.8297119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100368 ÷ 217
    100368 ÷ 131072     		y = 0.7657470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8297119140625 × 2 - 1) × π
    0.659423828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.07164105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7657470703125 × 2 - 1) × π
    -0.531494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.6697380875658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07164105} λ = 2.07164105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6697380875658))-π/2
    2×atan(0.188296376343201)-π/2
    2×0.1861171684842-π/2
    0.372234336968399-1.57079632675     		φ = -1.19856199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07164105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.696289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19856199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.672544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108752 KachelY 100368 2.07164105 -1.19856199 118.696289 -68.672544
    Oben rechts KachelX + 1 108753 KachelY 100368 2.07168899 -1.19856199 118.699036 -68.672544
    Unten links KachelX 108752 KachelY + 1 100369 2.07164105 -1.19857942 118.696289 -68.673542
    Unten rechts KachelX + 1 108753 KachelY + 1 100369 2.07168899 -1.19857942 118.699036 -68.673542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19856199--1.19857942) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dl = 111.046529999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19856199--1.19857942) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dr = 111.046529999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07164105-2.07168899) × cos(-1.19856199) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363697660885963 × 6371000     		do = 111.082627212291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07164105-2.07168899) × cos(-1.19857942) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363681424488564 × 6371000     		du = 111.077668198601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19856199)-sin(-1.19857942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363697660885963-0.363681424488564)×R²
    abs(2.07168899-2.07164105)×1.6236397399394e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6236397399394e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6236397399394e-05×40589641000000     		ar = 12335.0649548101m²