Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108751 / 100369
↖ ↑ ↗
← S 68.673542°
E118.693543°		 ← 111.05 m → S 68.673542°
E118.696289°		 →
↑
111.11 m
↓
↑
111.11 m
↓
S 68.674541°
E118.693543°		 ← 111.05 m →
12 339 m²		 S 68.674541°
E118.696289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829708099365234 y=0.765758514404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829708099365234 × 217)
    floor (0.829708099365234 × 131072)
    floor (108751.5)     		tx = 108751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765758514404297 × 217)
    floor (0.765758514404297 × 131072)
    floor (100369.5)     		ty = 100369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108751 / 100369 ti = "17/108751/100369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108751/100369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108751 ÷ 217
    108751 ÷ 131072     		x = 0.829704284667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100369 ÷ 217
    100369 ÷ 131072     		y = 0.765754699707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829704284667969 × 2 - 1) × π
    0.659408569335938 × 3.1415926535     		Λ = 2.07159312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765754699707031 × 2 - 1) × π
    -0.531509399414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.66978602446542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07159312} λ = 2.07159312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66978602446542))-π/2
    2×atan(0.188287350215054)-π/2
    2×0.186108451409693-π/2
    0.372216902819386-1.57079632675     		φ = -1.19857942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07159312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.693543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19857942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.673542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108751 KachelY 100369 2.07159312 -1.19857942 118.693543 -68.673542
    Oben rechts KachelX + 1 108752 KachelY 100369 2.07164105 -1.19857942 118.696289 -68.673542
    Unten links KachelX 108751 KachelY + 1 100370 2.07159312 -1.19859686 118.693543 -68.674541
    Unten rechts KachelX + 1 108752 KachelY + 1 100370 2.07164105 -1.19859686 118.696289 -68.674541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19857942--1.19859686) × R
    1.74400000001462e-05 × 6371000     		dl = 111.110240000932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19857942--1.19859686) × R
    1.74400000001462e-05 × 6371000     		dr = 111.110240000932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07159312-2.07164105) × cos(-1.19857942) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.363681424488564 × 6371000     		do = 111.054498055187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07159312-2.07164105) × cos(-1.19859686) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.363665178665379 × 6371000     		du = 111.049537197641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19857942)-sin(-1.19859686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363681424488564-0.363665178665379)×R²
    abs(2.07164105-2.07159312)×1.6245823185046e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6245823185046e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6245823185046e-05×40589641000000     		ar = 12339.0163314137m²