Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108743 / 100042
↖ ↑ ↗
← S 68.344514°
E118.671570°		 ← 112.71 m → S 68.344514°
E118.674316°		 →
↑
112.70 m
↓
↑
112.70 m
↓
S 68.345527°
E118.671570°		 ← 112.70 m →
12 702 m²		 S 68.345527°
E118.674316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829647064208984 y=0.763263702392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829647064208984 × 217)
    floor (0.829647064208984 × 131072)
    floor (108743.5)     		tx = 108743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763263702392578 × 217)
    floor (0.763263702392578 × 131072)
    floor (100042.5)     		ty = 100042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108743 / 100042 ti = "17/108743/100042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108743/100042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108743 ÷ 217
    108743 ÷ 131072     		x = 0.829643249511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100042 ÷ 217
    100042 ÷ 131072     		y = 0.763259887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829643249511719 × 2 - 1) × π
    0.659286499023438 × 3.1415926535     		Λ = 2.07120962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763259887695312 × 2 - 1) × π
    -0.526519775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65411065828966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07120962} λ = 2.07120962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65411065828966))-π/2
    2×atan(0.19126207743362)-π/2
    2×0.188979767942563-π/2
    0.377959535885127-1.57079632675     		φ = -1.19283679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07120962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.671570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19283679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.344514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108743 KachelY 100042 2.07120962 -1.19283679 118.671570 -68.344514
    Oben rechts KachelX + 1 108744 KachelY 100042 2.07125756 -1.19283679 118.674316 -68.344514
    Unten links KachelX 108743 KachelY + 1 100043 2.07120962 -1.19285448 118.671570 -68.345527
    Unten rechts KachelX + 1 108744 KachelY + 1 100043 2.07125756 -1.19285448 118.674316 -68.345527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19283679--1.19285448) × R
    1.76899999999591e-05 × 6371000     		dl = 112.70298999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19283679--1.19285448) × R
    1.76899999999591e-05 × 6371000     		dr = 112.70298999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07120962-2.07125756) × cos(-1.19283679) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36902479254753 × 6371000     		do = 112.709670342102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07120962-2.07125756) × cos(-1.19285448) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369008351057926 × 6371000     		du = 112.704648687973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19283679)-sin(-1.19285448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36902479254753-0.369008351057926)×R²
    abs(2.07125756-2.07120962)×1.64414896035581e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64414896035581e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64414896035581e-05×40589641000000     		ar = 12702.4338720863m²