Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108742 / 100294
↖ ↑ ↗
← S 68.598501°
E118.668823°		 ← 111.45 m → S 68.598501°
E118.671570°		 →
↑
111.43 m
↓
↑
111.43 m
↓
S 68.599503°
E118.668823°		 ← 111.45 m →
12 418 m²		 S 68.599503°
E118.671570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829639434814453 y=0.765186309814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829639434814453 × 217)
    floor (0.829639434814453 × 131072)
    floor (108742.5)     		tx = 108742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765186309814453 × 217)
    floor (0.765186309814453 × 131072)
    floor (100294.5)     		ty = 100294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108742 / 100294 ti = "17/108742/100294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108742/100294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108742 ÷ 217
    108742 ÷ 131072     		x = 0.829635620117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100294 ÷ 217
    100294 ÷ 131072     		y = 0.765182495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829635620117188 × 2 - 1) × π
    0.659271240234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.07116168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765182495117188 × 2 - 1) × π
    -0.530364990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66619075699391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07116168} λ = 2.07116168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66619075699391))-π/2
    2×atan(0.188965511956512)-π/2
    2×0.186763313192771-π/2
    0.373526626385542-1.57079632675     		φ = -1.19726970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07116168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.668823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19726970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.598501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108742 KachelY 100294 2.07116168 -1.19726970 118.668823 -68.598501
    Oben rechts KachelX + 1 108743 KachelY 100294 2.07120962 -1.19726970 118.671570 -68.598501
    Unten links KachelX 108742 KachelY + 1 100295 2.07116168 -1.19728719 118.668823 -68.599503
    Unten rechts KachelX + 1 108743 KachelY + 1 100295 2.07120962 -1.19728719 118.671570 -68.599503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19726970--1.19728719) × R
    1.74899999998424e-05 × 6371000     		dl = 111.428789998996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19726970--1.19728719) × R
    1.74899999998424e-05 × 6371000     		dr = 111.428789998996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07116168-2.07120962) × cos(-1.19726970) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.364901147027437 × 6371000     		do = 111.450202857631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07116168-2.07120962) × cos(-1.19728719) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.364884862972402 × 6371000     		du = 111.445229288071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19726970)-sin(-1.19728719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364901147027437-0.364884862972402)×R²
    abs(2.07120962-2.07116168)×1.62840550355647e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62840550355647e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62840550355647e-05×40589641000000     		ar = 12418.4841504463m²