Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108742 / 100040
↖ ↑ ↗
← S 68.342487°
E118.668823°		 ← 112.72 m → S 68.342487°
E118.671570°		 →
↑
112.70 m
↓
↑
112.70 m
↓
S 68.343500°
E118.668823°		 ← 112.71 m →
12 704 m²		 S 68.343500°
E118.671570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829639434814453 y=0.763248443603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829639434814453 × 217)
    floor (0.829639434814453 × 131072)
    floor (108742.5)     		tx = 108742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763248443603516 × 217)
    floor (0.763248443603516 × 131072)
    floor (100040.5)     		ty = 100040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108742 / 100040 ti = "17/108742/100040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108742/100040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108742 ÷ 217
    108742 ÷ 131072     		x = 0.829635620117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100040 ÷ 217
    100040 ÷ 131072     		y = 0.76324462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829635620117188 × 2 - 1) × π
    0.659271240234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.07116168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76324462890625 × 2 - 1) × π
    -0.5264892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65401478449042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07116168} λ = 2.07116168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65401478449042))-π/2
    2×atan(0.191280415334682)-π/2
    2×0.188997458635127-π/2
    0.377994917270255-1.57079632675     		φ = -1.19280141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07116168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.668823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19280141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.342487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108742 KachelY 100040 2.07116168 -1.19280141 118.668823 -68.342487
    Oben rechts KachelX + 1 108743 KachelY 100040 2.07120962 -1.19280141 118.671570 -68.342487
    Unten links KachelX 108742 KachelY + 1 100041 2.07116168 -1.19281910 118.668823 -68.343500
    Unten rechts KachelX + 1 108743 KachelY + 1 100041 2.07120962 -1.19281910 118.671570 -68.343500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19280141--1.19281910) × R
    1.76899999999591e-05 × 6371000     		dl = 112.70298999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19280141--1.19281910) × R
    1.76899999999591e-05 × 6371000     		dr = 112.70298999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07116168-2.07120962) × cos(-1.19280141) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369057675180288 × 6371000     		do = 112.719713544545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07116168-2.07120962) × cos(-1.19281910) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369041233921652 × 6371000     		du = 112.71469196096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19280141)-sin(-1.19281910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369057675180288-0.369041233921652)×R²
    abs(2.07120962-2.07116168)×1.64412586360352e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64412586360352e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64412586360352e-05×40589641000000     		ar = 12703.5657749793m²