Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 10874 / 23422
↖ ↑ ↗
← S 60.919755°
W 60.534668°		 ← 593.76 m → S 60.919755°
W 60.523682°		 →
↑
593.65 m
↓
↑
593.65 m
↓
S 60.925094°
W 60.534668°		 ← 593.66 m →
352 455 m²		 S 60.925094°
W 60.523682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.331863403320312 y=0.714797973632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.331863403320312 × 215)
    floor (0.331863403320312 × 32768)
    floor (10874.5)     		tx = 10874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.714797973632812 × 215)
    floor (0.714797973632812 × 32768)
    floor (23422.5)     		ty = 23422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 10874 / 23422 ti = "15/10874/23422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/10874/23422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10874 ÷ 215
    10874 ÷ 32768     		x = 0.33184814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23422 ÷ 215
    23422 ÷ 32768     		y = 0.71478271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33184814453125 × 2 - 1) × π
    -0.3363037109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.05652927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71478271484375 × 2 - 1) × π
    -0.4295654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.34951959810382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05652927} λ = -1.05652927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.34951959810382))-π/2
    2×atan(0.259364830077972)-π/2
    2×0.253773015358266-π/2
    0.507546030716531-1.57079632675     		φ = -1.06325030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05652927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.534668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06325030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.919755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10874 KachelY 23422 -1.05652927 -1.06325030 -60.534668 -60.919755
    Oben rechts KachelX + 1 10875 KachelY 23422 -1.05633752 -1.06325030 -60.523682 -60.919755
    Unten links KachelX 10874 KachelY + 1 23423 -1.05652927 -1.06334348 -60.534668 -60.925094
    Unten rechts KachelX + 1 10875 KachelY + 1 23423 -1.05633752 -1.06334348 -60.523682 -60.925094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06325030--1.06334348) × R
    9.3179999999915e-05 × 6371000     		dl = 593.649779999458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06325030--1.06334348) × R
    9.3179999999915e-05 × 6371000     		dr = 593.649779999458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05652927--1.05633752) × cos(-1.06325030) × R
    0.000191749999999935 × 0.486034087498615 × 6371000     		do = 593.758318126041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05652927--1.05633752) × cos(-1.06334348) × R
    0.000191749999999935 × 0.485952651673278 × 6371000     		du = 593.658832925454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06325030)-sin(-1.06334348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.486034087498615-0.485952651673278)×R²
    abs(-1.05633752--1.05652927)×8.14358253365954e-05×R²
    0.000191749999999935×8.14358253365954e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.14358253365954e-05×40589641000000     		ar = 352454.96549997m²