Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108738 / 100418
↖ ↑ ↗
← S 68.722434°
E118.657837°		 ← 110.81 m → S 68.722434°
E118.660583°		 →
↑
110.86 m
↓
↑
110.86 m
↓
S 68.723431°
E118.657837°		 ← 110.81 m →
12 284 m²		 S 68.723431°
E118.660583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829608917236328 y=0.766132354736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829608917236328 × 217)
    floor (0.829608917236328 × 131072)
    floor (108738.5)     		tx = 108738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766132354736328 × 217)
    floor (0.766132354736328 × 131072)
    floor (100418.5)     		ty = 100418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108738 / 100418 ti = "17/108738/100418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108738/100418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108738 ÷ 217
    108738 ÷ 131072     		x = 0.829605102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100418 ÷ 217
    100418 ÷ 131072     		y = 0.766128540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829605102539062 × 2 - 1) × π
    0.659210205078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.07096994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766128540039062 × 2 - 1) × π
    -0.532257080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6721349325468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07096994} λ = 2.07096994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6721349325468))-π/2
    2×atan(0.187845599555467)-π/2
    2×0.185681791297179-π/2
    0.371363582594358-1.57079632675     		φ = -1.19943274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07096994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.657837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19943274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.722434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108738 KachelY 100418 2.07096994 -1.19943274 118.657837 -68.722434
    Oben rechts KachelX + 1 108739 KachelY 100418 2.07101787 -1.19943274 118.660583 -68.722434
    Unten links KachelX 108738 KachelY + 1 100419 2.07096994 -1.19945014 118.657837 -68.723431
    Unten rechts KachelX + 1 108739 KachelY + 1 100419 2.07101787 -1.19945014 118.660583 -68.723431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19943274--1.19945014) × R
    1.73999999999452e-05 × 6371000     		dl = 110.855399999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19943274--1.19945014) × R
    1.73999999999452e-05 × 6371000     		dr = 110.855399999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07096994-2.07101787) × cos(-1.19943274) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362886404639779 × 6371000     		do = 110.811729180272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07096994-2.07101787) × cos(-1.19945014) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362870190683948 × 6371000     		du = 110.806778053805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19943274)-sin(-1.19945014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362886404639779-0.362870190683948)×R²
    abs(2.07101787-2.07096994)×1.62139558311791e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.62139558311791e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.62139558311791e-05×40589641000000     		ar = 12283.8041337742m²