Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108735 / 100051
↖ ↑ ↗
← S 68.353634°
E118.649597°		 ← 112.64 m → S 68.353634°
E118.652344°		 →
↑
112.64 m
↓
↑
112.64 m
↓
S 68.354647°
E118.649597°		 ← 112.64 m →
12 688 m²		 S 68.354647°
E118.652344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829586029052734 y=0.763332366943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829586029052734 × 217)
    floor (0.829586029052734 × 131072)
    floor (108735.5)     		tx = 108735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763332366943359 × 217)
    floor (0.763332366943359 × 131072)
    floor (100051.5)     		ty = 100051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108735 / 100051 ti = "17/108735/100051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108735/100051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108735 ÷ 217
    108735 ÷ 131072     		x = 0.829582214355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100051 ÷ 217
    100051 ÷ 131072     		y = 0.763328552246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829582214355469 × 2 - 1) × π
    0.659164428710938 × 3.1415926535     		Λ = 2.07082613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763328552246094 × 2 - 1) × π
    -0.526657104492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.65454209038624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07082613} λ = 2.07082613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65454209038624))-π/2
    2×atan(0.191179578632151)-π/2
    2×0.188900179330956-π/2
    0.377800358661913-1.57079632675     		φ = -1.19299597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07082613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.649597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19299597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.353634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108735 KachelY 100051 2.07082613 -1.19299597 118.649597 -68.353634
    Oben rechts KachelX + 1 108736 KachelY 100051 2.07087406 -1.19299597 118.652344 -68.353634
    Unten links KachelX 108735 KachelY + 1 100052 2.07082613 -1.19301365 118.649597 -68.354647
    Unten rechts KachelX + 1 108736 KachelY + 1 100052 2.07087406 -1.19301365 118.652344 -68.354647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19299597--1.19301365) × R
    1.76800000000199e-05 × 6371000     		dl = 112.639280000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19299597--1.19301365) × R
    1.76800000000199e-05 × 6371000     		dr = 112.639280000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07082613-2.07087406) × cos(-1.19299597) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.368876842868741 × 6371000     		do = 112.640981558459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07082613-2.07087406) × cos(-1.19301365) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.368860409635082 × 6371000     		du = 112.635963472869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19299597)-sin(-1.19301365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368876842868741-0.368860409635082)×R²
    abs(2.07087406-2.07082613)×1.64332336589634e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64332336589634e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64332336589634e-05×40589641000000     		ar = 12687.5164449885m²