Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108732 / 100300
↖ ↑ ↗
← S 68.604513°
E118.641358°		 ← 111.40 m → S 68.604513°
E118.644104°		 →
↑
111.43 m
↓
↑
111.43 m
↓
S 68.605515°
E118.641358°		 ← 111.39 m →
12 413 m²		 S 68.605515°
E118.644104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829563140869141 y=0.765232086181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829563140869141 × 217)
    floor (0.829563140869141 × 131072)
    floor (108732.5)     		tx = 108732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765232086181641 × 217)
    floor (0.765232086181641 × 131072)
    floor (100300.5)     		ty = 100300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108732 / 100300 ti = "17/108732/100300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108732/100300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108732 ÷ 217
    108732 ÷ 131072     		x = 0.829559326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100300 ÷ 217
    100300 ÷ 131072     		y = 0.765228271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829559326171875 × 2 - 1) × π
    0.65911865234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.07068232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765228271484375 × 2 - 1) × π
    -0.53045654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66647837839163
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07068232} λ = 2.07068232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66647837839163))-π/2
    2×atan(0.18891116924728)-π/2
    2×0.186710843529662-π/2
    0.373421687059324-1.57079632675     		φ = -1.19737464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07068232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.641358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19737464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.604513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108732 KachelY 100300 2.07068232 -1.19737464 118.641358 -68.604513
    Oben rechts KachelX + 1 108733 KachelY 100300 2.07073025 -1.19737464 118.644104 -68.604513
    Unten links KachelX 108732 KachelY + 1 100301 2.07068232 -1.19739213 118.641358 -68.605515
    Unten rechts KachelX + 1 108733 KachelY + 1 100301 2.07073025 -1.19739213 118.644104 -68.605515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19737464--1.19739213) × R
    1.74900000000644e-05 × 6371000     		dl = 111.42879000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19737464--1.19739213) × R
    1.74900000000644e-05 × 6371000     		dr = 111.42879000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07068232-2.07073025) × cos(-1.19737464) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.364803441023048 × 6371000     		do = 111.397119301851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07068232-2.07073025) × cos(-1.19739213) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.364787156298377 × 6371000     		du = 111.392146565268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19737464)-sin(-1.19739213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364803441023048-0.364787156298377)×R²
    abs(2.07073025-2.07068232)×1.62847246709119e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.62847246709119e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.62847246709119e-05×40589641000000     		ar = 12412.5691605833m²