Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108720 / 100271
↖ ↑ ↗
← S 68.575437°
E118.608398°		 ← 111.56 m → S 68.575437°
E118.611145°		 →
↑
111.56 m
↓
↑
111.56 m
↓
S 68.576441°
E118.608398°		 ← 111.56 m →
12 445 m²		 S 68.576441°
E118.611145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829471588134766 y=0.765010833740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829471588134766 × 217)
    floor (0.829471588134766 × 131072)
    floor (108720.5)     		tx = 108720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765010833740234 × 217)
    floor (0.765010833740234 × 131072)
    floor (100271.5)     		ty = 100271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108720 / 100271 ti = "17/108720/100271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108720/100271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108720 ÷ 217
    108720 ÷ 131072     		x = 0.8294677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100271 ÷ 217
    100271 ÷ 131072     		y = 0.765007019042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8294677734375 × 2 - 1) × π
    0.658935546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.07010707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765007019042969 × 2 - 1) × π
    -0.530014038085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.66508820830265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07010707} λ = 2.07010707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66508820830265))-π/2
    2×atan(0.189173970531161)-π/2
    2×0.18696457711161-π/2
    0.37392915422322-1.57079632675     		φ = -1.19686717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07010707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.608398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19686717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.575437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108720 KachelY 100271 2.07010707 -1.19686717 118.608398 -68.575437
    Oben rechts KachelX + 1 108721 KachelY 100271 2.07015501 -1.19686717 118.611145 -68.575437
    Unten links KachelX 108720 KachelY + 1 100272 2.07010707 -1.19688468 118.608398 -68.576441
    Unten rechts KachelX + 1 108721 KachelY + 1 100272 2.07015501 -1.19688468 118.611145 -68.576441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19686717--1.19688468) × R
    1.75099999999428e-05 × 6371000     		dl = 111.556209999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19686717--1.19688468) × R
    1.75099999999428e-05 × 6371000     		dr = 111.556209999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07010707-2.07015501) × cos(-1.19686717) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365275891508979 × 6371000     		do = 111.564659468217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07010707-2.07015501) × cos(-1.19688468) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365259591406087 × 6371000     		du = 111.559680997229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19686717)-sin(-1.19688468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365275891508979-0.365259591406087)×R²
    abs(2.07015501-2.07010707)×1.6300102892608e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6300102892608e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6300102892608e-05×40589641000000     		ar = 12445.4528908749m²