Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10872 / 6744
↖ ↑ ↗
← N 80.568147°
W120.278320°		 ← 100.10 m → N 80.568147°
W120.272827°		 →
↑
100.15 m
↓
↑
100.15 m
↓
N 80.567246°
W120.278320°		 ← 100.11 m →
10 026 m²		 N 80.567246°
W120.272827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165901184082031 y=0.102912902832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165901184082031 × 216)
    floor (0.165901184082031 × 65536)
    floor (10872.5)     		tx = 10872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102912902832031 × 216)
    floor (0.102912902832031 × 65536)
    floor (6744.5)     		ty = 6744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10872 / 6744 ti = "16/10872/6744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10872/6744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10872 ÷ 216
    10872 ÷ 65536     		x = 0.1658935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6744 ÷ 216
    6744 ÷ 65536     		y = 0.1029052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1658935546875 × 2 - 1) × π
    -0.668212890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.09925271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1029052734375 × 2 - 1) × π
    0.794189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.49501975142468
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09925271} λ = -2.09925271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49501975142468))-π/2
    2×atan(12.1219729424605)-π/2
    2×1.4884878810154-π/2
    2.97697576203081-1.57079632675     		φ = 1.40617944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09925271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.278320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40617944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.568147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10872 KachelY 6744 -2.09925271 1.40617944 -120.278320 80.568147
    Oben rechts KachelX + 1 10873 KachelY 6744 -2.09915683 1.40617944 -120.272827 80.568147
    Unten links KachelX 10872 KachelY + 1 6745 -2.09925271 1.40616372 -120.278320 80.567246
    Unten rechts KachelX + 1 10873 KachelY + 1 6745 -2.09915683 1.40616372 -120.272827 80.567246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40617944-1.40616372) × R
    1.57200000001634e-05 × 6371000     		dl = 100.152120001041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40617944-1.40616372) × R
    1.57200000001634e-05 × 6371000     		dr = 100.152120001041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09925271--2.09915683) × cos(1.40617944) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.163874409047908 × 6371000     		do = 100.102925300975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09925271--2.09915683) × cos(1.40616372) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.163889916512284 × 6371000     		du = 100.112398058539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40617944)-sin(1.40616372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163874409047908-0.163889916512284)×R²
    abs(-2.09915683--2.09925271)×1.5507464375536e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.5507464375536e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.5507464375536e-05×40589641000000     		ar = 10025.9945455209m²