Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 10872 / 23432
↖ ↑ ↗
← S 60.973107°
W 60.556640°		 ← 592.73 m → S 60.973107°
W 60.545655°		 →
↑
592.76 m
↓
↑
592.76 m
↓
S 60.978438°
W 60.556640°		 ← 592.63 m →
351 318 m²		 S 60.978438°
W 60.545655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.331802368164062 y=0.715103149414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.331802368164062 × 215)
    floor (0.331802368164062 × 32768)
    floor (10872.5)     		tx = 10872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.715103149414062 × 215)
    floor (0.715103149414062 × 32768)
    floor (23432.5)     		ty = 23432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 10872 / 23432 ti = "15/10872/23432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/10872/23432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10872 ÷ 215
    10872 ÷ 32768     		x = 0.331787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23432 ÷ 215
    23432 ÷ 32768     		y = 0.715087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.331787109375 × 2 - 1) × π
    -0.33642578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.05691276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.715087890625 × 2 - 1) × π
    -0.43017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.35143707408862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05691276} λ = -1.05691276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35143707408862))-π/2
    2×atan(0.258867980745557)-π/2
    2×0.253307426293474-π/2
    0.506614852586948-1.57079632675     		φ = -1.06418147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05691276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.556640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06418147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.973107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10872 KachelY 23432 -1.05691276 -1.06418147 -60.556640 -60.973107
    Oben rechts KachelX + 1 10873 KachelY 23432 -1.05672102 -1.06418147 -60.545655 -60.973107
    Unten links KachelX 10872 KachelY + 1 23433 -1.05691276 -1.06427451 -60.556640 -60.978438
    Unten rechts KachelX + 1 10873 KachelY + 1 23433 -1.05672102 -1.06427451 -60.545655 -60.978438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06418147--1.06427451) × R
    9.30399999998777e-05 × 6371000     		dl = 592.757839999221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06418147--1.06427451) × R
    9.30399999998777e-05 × 6371000     		dr = 592.757839999221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05691276--1.05672102) × cos(-1.06418147) × R
    0.000191739999999996 × 0.485220090329152 × 6371000     		do = 592.732993862669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05691276--1.05672102) × cos(-1.06427451) × R
    0.000191739999999996 × 0.485138734792434 × 6371000     		du = 592.633611928971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06418147)-sin(-1.06427451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485220090329152-0.485138734792434)×R²
    abs(-1.05672102--1.05691276)×8.13555367180085e-05×R²
    0.000191739999999996×8.13555367180085e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.13555367180085e-05×40589641000000     		ar = 351317.674681395m²