Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108711 / 99753
↖ ↑ ↗
← S 68.049703°
E118.583679°		 ← 114.17 m → S 68.049703°
E118.586426°		 →
↑
114.10 m
↓
↑
114.10 m
↓
S 68.050730°
E118.583679°		 ← 114.16 m →
13 027 m²		 S 68.050730°
E118.586426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829402923583984 y=0.761058807373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829402923583984 × 217)
    floor (0.829402923583984 × 131072)
    floor (108711.5)     		tx = 108711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761058807373047 × 217)
    floor (0.761058807373047 × 131072)
    floor (99753.5)     		ty = 99753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108711 / 99753 ti = "17/108711/99753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108711/99753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108711 ÷ 217
    108711 ÷ 131072     		x = 0.829399108886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99753 ÷ 217
    99753 ÷ 131072     		y = 0.761054992675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829399108886719 × 2 - 1) × π
    0.658798217773438 × 3.1415926535     		Λ = 2.06967564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761054992675781 × 2 - 1) × π
    -0.522109985351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.64025689429946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06967564} λ = 2.06967564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64025689429946))-π/2
    2×atan(0.193930216324096)-π/2
    2×0.191552475378682-π/2
    0.383104950757364-1.57079632675     		φ = -1.18769138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06967564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.583679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18769138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.049703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108711 KachelY 99753 2.06967564 -1.18769138 118.583679 -68.049703
    Oben rechts KachelX + 1 108712 KachelY 99753 2.06972358 -1.18769138 118.586426 -68.049703
    Unten links KachelX 108711 KachelY + 1 99754 2.06967564 -1.18770929 118.583679 -68.050730
    Unten rechts KachelX + 1 108712 KachelY + 1 99754 2.06972358 -1.18770929 118.586426 -68.050730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18769138--1.18770929) × R
    1.79099999999544e-05 × 6371000     		dl = 114.104609999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18769138--1.18770929) × R
    1.79099999999544e-05 × 6371000     		dr = 114.104609999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06967564-2.06972358) × cos(-1.18769138) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373802131099622 × 6371000     		do = 114.168792504604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06967564-2.06972358) × cos(-1.18770929) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373785519362926 × 6371000     		du = 114.163718852631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18769138)-sin(-1.18770929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373802131099622-0.373785519362926)×R²
    abs(2.06972358-2.06967564)×1.66117366956486e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66117366956486e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66117366956486e-05×40589641000000     		ar = 13026.896079556m²