Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1087 / 62
↖ ↑ ↗
← N 84.558057°
W 84.462891°		 ← 926.84 m → N 84.558057°
W 84.375000°		 →
↑
927.55 m
↓
↑
927.55 m
↓
N 84.549716°
W 84.462891°		 ← 928.26 m →
860 352 m²		 N 84.549716°
W 84.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2655029296875 y=0.0152587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2655029296875 × 212)
    floor (0.2655029296875 × 4096)
    floor (1087.5)     		tx = 1087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0152587890625 × 212)
    floor (0.0152587890625 × 4096)
    floor (62.5)     		ty = 62
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1087 / 62 ti = "12/1087/62"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1087/62.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1087 ÷ 212
    1087 ÷ 4096     		x = 0.265380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62 ÷ 212
    62 ÷ 4096     		y = 0.01513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265380859375 × 2 - 1) × π
    -0.46923828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.47415554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.01513671875 × 2 - 1) × π
    0.9697265625 × 3.1415926535     		Φ = 3.04648584465381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47415554} λ = -1.47415554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.04648584465381))-π/2
    2×atan(21.0412720491933)-π/2
    2×1.52330641645353-π/2
    3.04661283290706-1.57079632675     		φ = 1.47581651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47415554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.462891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47581651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.558057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1087 KachelY 62 -1.47415554 1.47581651 -84.462891 84.558057
    Oben rechts KachelX + 1 1088 KachelY 62 -1.47262156 1.47581651 -84.375000 84.558057
    Unten links KachelX 1087 KachelY + 1 63 -1.47415554 1.47567092 -84.462891 84.549716
    Unten rechts KachelX + 1 1088 KachelY + 1 63 -1.47262156 1.47567092 -84.375000 84.549716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47581651-1.47567092) × R
    0.000145590000000029 × 6371000     		dl = 927.553890000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47581651-1.47567092) × R
    0.000145590000000029 × 6371000     		dr = 927.553890000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47415554--1.47262156) × cos(1.47581651) × R
    0.00153397999999982 × 0.094837076418371 × 6371000     		do = 926.841475123068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47415554--1.47262156) × cos(1.47567092) × R
    0.00153397999999982 × 0.0949820092105364 × 6371000     		du = 928.257901355902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47581651)-sin(1.47567092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.094837076418371-0.0949820092105364)×R²
    abs(-1.47262156--1.47415554)×0.000144932792165361×R²
    0.00153397999999982×0.000144932792165361×6371000²
    0.00153397999999982×0.000144932792165361×40589641000000     		ar = 860352.323017382m²