Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1087 / 61
↖ ↑ ↗
← N 84.566386°
W 84.462891°		 ← 925.43 m → N 84.566386°
W 84.375000°		 →
↑
926.09 m
↓
↑
926.09 m
↓
N 84.558057°
W 84.462891°		 ← 926.84 m →
857 682 m²		 N 84.558057°
W 84.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2655029296875 y=0.0150146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2655029296875 × 212)
    floor (0.2655029296875 × 4096)
    floor (1087.5)     		tx = 1087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0150146484375 × 212)
    floor (0.0150146484375 × 4096)
    floor (61.5)     		ty = 61
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1087 / 61 ti = "12/1087/61"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1087/61.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1087 ÷ 212
    1087 ÷ 4096     		x = 0.265380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61 ÷ 212
    61 ÷ 4096     		y = 0.014892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265380859375 × 2 - 1) × π
    -0.46923828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.47415554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.014892578125 × 2 - 1) × π
    0.97021484375 × 3.1415926535     		Φ = 3.04801982544165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47415554} λ = -1.47415554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.04801982544165))-π/2
    2×atan(21.0735737250095)-π/2
    2×1.52337910007234-π/2
    3.04675820014469-1.57079632675     		φ = 1.47596187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47415554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.462891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47596187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.566386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1087 KachelY 61 -1.47415554 1.47596187 -84.462891 84.566386
    Oben rechts KachelX + 1 1088 KachelY 61 -1.47262156 1.47596187 -84.375000 84.566386
    Unten links KachelX 1087 KachelY + 1 62 -1.47415554 1.47581651 -84.462891 84.558057
    Unten rechts KachelX + 1 1088 KachelY + 1 62 -1.47262156 1.47581651 -84.375000 84.558057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47596187-1.47581651) × R
    0.000145359999999872 × 6371000     		dl = 926.088559999186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47596187-1.47581651) × R
    0.000145359999999872 × 6371000     		dr = 926.088559999186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47415554--1.47262156) × cos(1.47596187) × R
    0.00153397999999982 × 0.094692370582513 × 6371000     		do = 925.42726693118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47415554--1.47262156) × cos(1.47581651) × R
    0.00153397999999982 × 0.094837076418371 × 6371000     		du = 926.841475123068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47596187)-sin(1.47581651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.094692370582513-0.094837076418371)×R²
    abs(-1.47262156--1.47415554)×0.000144705835857989×R²
    0.00153397999999982×0.000144705835857989×6371000²
    0.00153397999999982×0.000144705835857989×40589641000000     		ar = 857682.447539544m²