Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108698 / 99757
↖ ↑ ↗
← S 68.053810°
E118.547974°		 ← 114.15 m → S 68.053810°
E118.550720°		 →
↑
114.10 m
↓
↑
114.10 m
↓
S 68.054836°
E118.547974°		 ← 114.14 m →
13 025 m²		 S 68.054836°
E118.550720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829303741455078 y=0.761089324951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829303741455078 × 217)
    floor (0.829303741455078 × 131072)
    floor (108698.5)     		tx = 108698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761089324951172 × 217)
    floor (0.761089324951172 × 131072)
    floor (99757.5)     		ty = 99757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108698 / 99757 ti = "17/108698/99757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108698/99757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108698 ÷ 217
    108698 ÷ 131072     		x = 0.829299926757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99757 ÷ 217
    99757 ÷ 131072     		y = 0.761085510253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829299926757812 × 2 - 1) × π
    0.658599853515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.06905246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761085510253906 × 2 - 1) × π
    -0.522171020507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.64044864189794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06905246} λ = 2.06905246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64044864189794))-π/2
    2×atan(0.193893034235745)-π/2
    2×0.191516640734534-π/2
    0.383033281469067-1.57079632675     		φ = -1.18776305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06905246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.547974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18776305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.053810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108698 KachelY 99757 2.06905246 -1.18776305 118.547974 -68.053810
    Oben rechts KachelX + 1 108699 KachelY 99757 2.06910040 -1.18776305 118.550720 -68.053810
    Unten links KachelX 108698 KachelY + 1 99758 2.06905246 -1.18778096 118.547974 -68.054836
    Unten rechts KachelX + 1 108699 KachelY + 1 99758 2.06910040 -1.18778096 118.550720 -68.054836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18776305--1.18778096) × R
    1.79099999999544e-05 × 6371000     		dl = 114.104609999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18776305--1.18778096) × R
    1.79099999999544e-05 × 6371000     		dr = 114.104609999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06905246-2.06910040) × cos(-1.18776305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373735655607412 × 6371000     		do = 114.148489178204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06905246-2.06910040) × cos(-1.18778096) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373719043390953 × 6371000     		du = 114.143415379699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18776305)-sin(-1.18778096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373735655607412-0.373719043390953)×R²
    abs(2.06910040-2.06905246)×1.66122164583227e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66122164583227e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66122164583227e-05×40589641000000     		ar = 13024.5793681737m²