Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108697 / 99725
↖ ↑ ↗
← S 68.020938°
E118.545227°		 ← 114.31 m → S 68.020938°
E118.547974°		 →
↑
114.30 m
↓
↑
114.30 m
↓
S 68.021966°
E118.545227°		 ← 114.31 m →
13 065 m²		 S 68.021966°
E118.547974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829296112060547 y=0.760845184326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829296112060547 × 217)
    floor (0.829296112060547 × 131072)
    floor (108697.5)     		tx = 108697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760845184326172 × 217)
    floor (0.760845184326172 × 131072)
    floor (99725.5)     		ty = 99725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108697 / 99725 ti = "17/108697/99725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108697/99725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108697 ÷ 217
    108697 ÷ 131072     		x = 0.829292297363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99725 ÷ 217
    99725 ÷ 131072     		y = 0.760841369628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829292297363281 × 2 - 1) × π
    0.658584594726562 × 3.1415926535     		Λ = 2.06900452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760841369628906 × 2 - 1) × π
    -0.521682739257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.6389146611101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06900452} λ = 2.06900452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6389146611101))-π/2
    2×atan(0.194190690666414)-π/2
    2×0.191803496403636-π/2
    0.383606992807273-1.57079632675     		φ = -1.18718933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06900452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.545227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18718933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.020938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108697 KachelY 99725 2.06900452 -1.18718933 118.545227 -68.020938
    Oben rechts KachelX + 1 108698 KachelY 99725 2.06905246 -1.18718933 118.547974 -68.020938
    Unten links KachelX 108697 KachelY + 1 99726 2.06900452 -1.18720727 118.545227 -68.021966
    Unten rechts KachelX + 1 108698 KachelY + 1 99726 2.06905246 -1.18720727 118.547974 -68.021966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18718933--1.18720727) × R
    1.79399999999941e-05 × 6371000     		dl = 114.295739999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18718933--1.18720727) × R
    1.79399999999941e-05 × 6371000     		dr = 114.295739999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06900452-2.06905246) × cos(-1.18718933) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374267739599542 × 6371000     		do = 114.311001325242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06900452-2.06905246) × cos(-1.18720727) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374251103406165 × 6371000     		du = 114.30592020357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18718933)-sin(-1.18720727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374267739599542-0.374251103406165)×R²
    abs(2.06905246-2.06900452)×1.66361933764403e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66361933764403e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66361933764403e-05×40589641000000     		ar = 13064.9701117654m²