Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 10868 / 23476
↖ ↑ ↗
← S 61.206798°
W 60.600586°		 ← 588.37 m → S 61.206798°
W 60.589600°		 →
↑
588.36 m
↓
↑
588.36 m
↓
S 61.212089°
W 60.600586°		 ← 588.27 m →
346 146 m²		 S 61.212089°
W 60.589600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.331680297851562 y=0.716445922851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.331680297851562 × 215)
    floor (0.331680297851562 × 32768)
    floor (10868.5)     		tx = 10868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716445922851562 × 215)
    floor (0.716445922851562 × 32768)
    floor (23476.5)     		ty = 23476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 10868 / 23476 ti = "15/10868/23476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/10868/23476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10868 ÷ 215
    10868 ÷ 32768     		x = 0.3316650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23476 ÷ 215
    23476 ÷ 32768     		y = 0.7164306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3316650390625 × 2 - 1) × π
    -0.336669921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.05767975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7164306640625 × 2 - 1) × π
    -0.432861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.35987396842175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05767975} λ = -1.05767975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35987396842175))-π/2
    2×atan(0.25669312635483)-π/2
    2×0.251268088183249-π/2
    0.502536176366498-1.57079632675     		φ = -1.06826015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05767975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.600586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06826015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.206798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10868 KachelY 23476 -1.05767975 -1.06826015 -60.600586 -61.206798
    Oben rechts KachelX + 1 10869 KachelY 23476 -1.05748801 -1.06826015 -60.589600 -61.206798
    Unten links KachelX 10868 KachelY + 1 23477 -1.05767975 -1.06835250 -60.600586 -61.212089
    Unten rechts KachelX + 1 10869 KachelY + 1 23477 -1.05748801 -1.06835250 -60.589600 -61.212089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06826015--1.06835250) × R
    9.23500000000743e-05 × 6371000     		dl = 588.361850000474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06826015--1.06835250) × R
    9.23500000000743e-05 × 6371000     		dr = 588.361850000474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05767975--1.05748801) × cos(-1.06826015) × R
    0.000191739999999996 × 0.481649698869343 × 6371000     		do = 588.371490987142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05767975--1.05748801) × cos(-1.06835250) × R
    0.000191739999999996 × 0.481568764615611 × 6371000     		du = 588.272623682435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06826015)-sin(-1.06835250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.481649698869343-0.481568764615611)×R²
    abs(-1.05748801--1.05767975)×8.09342537315683e-05×R²
    0.000191739999999996×8.09342537315683e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.09342537315683e-05×40589641000000     		ar = 346146.254295959m²