Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108649 / 100084
↖ ↑ ↗
← S 68.387043°
E118.413391°		 ← 112.50 m → S 68.387043°
E118.416138°		 →
↑
112.51 m
↓
↑
112.51 m
↓
S 68.388055°
E118.413391°		 ← 112.49 m →
12 657 m²		 S 68.388055°
E118.416138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828929901123047 y=0.763584136962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828929901123047 × 217)
    floor (0.828929901123047 × 131072)
    floor (108649.5)     		tx = 108649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763584136962891 × 217)
    floor (0.763584136962891 × 131072)
    floor (100084.5)     		ty = 100084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108649 / 100084 ti = "17/108649/100084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108649/100084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108649 ÷ 217
    108649 ÷ 131072     		x = 0.828926086425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100084 ÷ 217
    100084 ÷ 131072     		y = 0.763580322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828926086425781 × 2 - 1) × π
    0.657852172851562 × 3.1415926535     		Λ = 2.06670355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763580322265625 × 2 - 1) × π
    -0.52716064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6561240080737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06670355} λ = 2.06670355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6561240080737))-π/2
    2×atan(0.19087738735911)-π/2
    2×0.188608627340456-π/2
    0.377217254680912-1.57079632675     		φ = -1.19357907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06670355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.413391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19357907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.387043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108649 KachelY 100084 2.06670355 -1.19357907 118.413391 -68.387043
    Oben rechts KachelX + 1 108650 KachelY 100084 2.06675149 -1.19357907 118.416138 -68.387043
    Unten links KachelX 108649 KachelY + 1 100085 2.06670355 -1.19359673 118.413391 -68.388055
    Unten rechts KachelX + 1 108650 KachelY + 1 100085 2.06675149 -1.19359673 118.416138 -68.388055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19357907--1.19359673) × R
    1.76600000001415e-05 × 6371000     		dl = 112.511860000901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19357907--1.19359673) × R
    1.76600000001415e-05 × 6371000     		dr = 112.511860000901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06670355-2.06675149) × cos(-1.19357907) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368334801403724 × 6371000     		do = 112.498929286412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06670355-2.06675149) × cos(-1.19359673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36831838296411 × 6371000     		du = 112.493914672343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19357907)-sin(-1.19359673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368334801403724-0.36831838296411)×R²
    abs(2.06675149-2.06670355)×1.64184396140299e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64184396140299e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64184396140299e-05×40589641000000     		ar = 12657.1816806953m²