Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1086 / 60
↖ ↑ ↗
← N 84.574702°
W 84.550781°		 ← 924.02 m → N 84.574702°
W 84.462891°		 →
↑
924.75 m
↓
↑
924.75 m
↓
N 84.566386°
W 84.550781°		 ← 925.43 m →
855 137 m²		 N 84.566386°
W 84.462891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2652587890625 y=0.0147705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2652587890625 × 212)
    floor (0.2652587890625 × 4096)
    floor (1086.5)     		tx = 1086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0147705078125 × 212)
    floor (0.0147705078125 × 4096)
    floor (60.5)     		ty = 60
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1086 / 60 ti = "12/1086/60"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1086/60.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1086 ÷ 212
    1086 ÷ 4096     		x = 0.26513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60 ÷ 212
    60 ÷ 4096     		y = 0.0146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26513671875 × 2 - 1) × π
    -0.4697265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.47568952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0146484375 × 2 - 1) × π
    0.970703125 × 3.1415926535     		Φ = 3.04955380622949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47568952} λ = -1.47568952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.04955380622949))-π/2
    2×atan(21.1059249889997)-π/2
    2×1.52345167278159-π/2
    3.04690334556317-1.57079632675     		φ = 1.47610702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47568952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.550781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47610702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.574702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1086 KachelY 60 -1.47568952 1.47610702 -84.550781 84.574702
    Oben rechts KachelX + 1 1087 KachelY 60 -1.47415554 1.47610702 -84.462891 84.574702
    Unten links KachelX 1086 KachelY + 1 61 -1.47568952 1.47596187 -84.550781 84.566386
    Unten rechts KachelX + 1 1087 KachelY + 1 61 -1.47415554 1.47596187 -84.462891 84.566386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47610702-1.47596187) × R
    0.000145150000000038 × 6371000     		dl = 924.750650000244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47610702-1.47596187) × R
    0.000145150000000038 × 6371000     		dr = 924.750650000244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47568952--1.47415554) × cos(1.47610702) × R
    0.00153398000000005 × 0.0945478718051181 × 6371000     		do = 924.015082319007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47568952--1.47415554) × cos(1.47596187) × R
    0.00153398000000005 × 0.094692370582513 × 6371000     		du = 925.427266931314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47610702)-sin(1.47596187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0945478718051181-0.094692370582513)×R²
    abs(-1.47415554--1.47568952)×0.000144498777394905×R²
    0.00153398000000005×0.000144498777394905×6371000²
    0.00153398000000005×0.000144498777394905×40589641000000     		ar = 855136.508801157m²