Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1086 / 59
↖ ↑ ↗
← N 84.583006°
W 84.550781°		 ← 922.61 m → N 84.583006°
W 84.462891°		 →
↑
923.29 m
↓
↑
923.29 m
↓
N 84.574702°
W 84.550781°		 ← 924.02 m →
852 479 m²		 N 84.574702°
W 84.462891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2652587890625 y=0.0145263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2652587890625 × 212)
    floor (0.2652587890625 × 4096)
    floor (1086.5)     		tx = 1086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0145263671875 × 212)
    floor (0.0145263671875 × 4096)
    floor (59.5)     		ty = 59
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1086 / 59 ti = "12/1086/59"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1086/59.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1086 ÷ 212
    1086 ÷ 4096     		x = 0.26513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59 ÷ 212
    59 ÷ 4096     		y = 0.014404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26513671875 × 2 - 1) × π
    -0.4697265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.47568952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.014404296875 × 2 - 1) × π
    0.97119140625 × 3.1415926535     		Φ = 3.05108778701733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47568952} λ = -1.47568952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.05108778701733))-π/2
    2×atan(21.1383259172897)-π/2
    2×1.52352413474897-π/2
    3.04704826949794-1.57079632675     		φ = 1.47625194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47568952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.550781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47625194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.583006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1086 KachelY 59 -1.47568952 1.47625194 -84.550781 84.583006
    Oben rechts KachelX + 1 1087 KachelY 59 -1.47415554 1.47625194 -84.462891 84.583006
    Unten links KachelX 1086 KachelY + 1 60 -1.47568952 1.47610702 -84.550781 84.574702
    Unten rechts KachelX + 1 1087 KachelY + 1 60 -1.47415554 1.47610702 -84.462891 84.574702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47625194-1.47610702) × R
    0.000144920000000104 × 6371000     		dl = 923.285320000662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47625194-1.47610702) × R
    0.000144920000000104 × 6371000     		dr = 923.285320000662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47568952--1.47415554) × cos(1.47625194) × R
    0.00153398000000005 × 0.0944036000085634 × 6371000     		do = 922.605115987406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47568952--1.47415554) × cos(1.47610702) × R
    0.00153398000000005 × 0.0945478718051181 × 6371000     		du = 924.015082319007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47625194)-sin(1.47610702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0944036000085634-0.0945478718051181)×R²
    abs(-1.47415554--1.47568952)×0.000144271796554699×R²
    0.00153398000000005×0.000144271796554699×6371000²
    0.00153398000000005×0.000144271796554699×40589641000000     		ar = 852478.661847788m²