Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108594 / 99804
↖ ↑ ↗
← S 68.102005°
E118.262329°		 ← 113.91 m → S 68.102005°
E118.265076°		 →
↑
113.85 m
↓
↑
113.85 m
↓
S 68.103029°
E118.262329°		 ← 113.91 m →
12 968 m²		 S 68.103029°
E118.265076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828510284423828 y=0.761447906494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828510284423828 × 217)
    floor (0.828510284423828 × 131072)
    floor (108594.5)     		tx = 108594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761447906494141 × 217)
    floor (0.761447906494141 × 131072)
    floor (99804.5)     		ty = 99804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108594 / 99804 ti = "17/108594/99804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108594/99804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108594 ÷ 217
    108594 ÷ 131072     		x = 0.828506469726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99804 ÷ 217
    99804 ÷ 131072     		y = 0.761444091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828506469726562 × 2 - 1) × π
    0.657012939453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.06406702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.52288818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64270167618008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06406702} λ = 2.06406702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64270167618008))-π/2
    2×atan(0.193456678329535)-π/2
    2×0.191096060767547-π/2
    0.382192121535093-1.57079632675     		φ = -1.18860421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06406702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.262329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18860421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.102005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108594 KachelY 99804 2.06406702 -1.18860421 118.262329 -68.102005
    Oben rechts KachelX + 1 108595 KachelY 99804 2.06411496 -1.18860421 118.265076 -68.102005
    Unten links KachelX 108594 KachelY + 1 99805 2.06406702 -1.18862208 118.262329 -68.103029
    Unten rechts KachelX + 1 108595 KachelY + 1 99805 2.06411496 -1.18862208 118.265076 -68.103029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18860421--1.18862208) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dl = 113.849769999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18860421--1.18862208) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dr = 113.849769999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06406702-2.06411496) × cos(-1.18860421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372955317921228 × 6371000     		do = 113.910153962952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06406702-2.06411496) × cos(-1.18862208) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372938737194618 × 6371000     		du = 113.905089782257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18860421)-sin(-1.18862208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372955317921228-0.372938737194618)×R²
    abs(2.06411496-2.06406702)×1.65807266098161e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65807266098161e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65807266098161e-05×40589641000000     		ar = 12968.3565517306m²