Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10859 / 4660
↖ ↑ ↗
← N 82.270569°
W120.349732°		 ← 82.16 m → N 82.270569°
W120.344238°		 →
↑
82.12 m
↓
↑
82.12 m
↓
N 82.269831°
W120.349732°		 ← 82.16 m →
6 747 m²		 N 82.269831°
W120.344238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165702819824219 y=0.0711135864257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165702819824219 × 216)
    floor (0.165702819824219 × 65536)
    floor (10859.5)     		tx = 10859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0711135864257812 × 216)
    floor (0.0711135864257812 × 65536)
    floor (4660.5)     		ty = 4660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10859 / 4660 ti = "16/10859/4660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10859/4660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10859 ÷ 216
    10859 ÷ 65536     		x = 0.165695190429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4660 ÷ 216
    4660 ÷ 65536     		y = 0.07110595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165695190429688 × 2 - 1) × π
    -0.668609619140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.10049907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07110595703125 × 2 - 1) × π
    0.8577880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.69482074904108
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10049907} λ = -2.10049907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69482074904108))-π/2
    2×atan(14.802865087697)-π/2
    2×1.50334432052277-π/2
    3.00668864104553-1.57079632675     		φ = 1.43589231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10049907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.349732°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43589231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.270569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10859 KachelY 4660 -2.10049907 1.43589231 -120.349732 82.270569
    Oben rechts KachelX + 1 10860 KachelY 4660 -2.10040319 1.43589231 -120.344238 82.270569
    Unten links KachelX 10859 KachelY + 1 4661 -2.10049907 1.43587942 -120.349732 82.269831
    Unten rechts KachelX + 1 10860 KachelY + 1 4661 -2.10040319 1.43587942 -120.344238 82.269831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43589231-1.43587942) × R
    1.28900000000431e-05 × 6371000     		dl = 82.1221900002749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43589231-1.43587942) × R
    1.28900000000431e-05 × 6371000     		dr = 82.1221900002749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10049907--2.10040319) × cos(1.43589231) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.134495200501809 × 6371000     		do = 82.1565922793728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10049907--2.10040319) × cos(1.43587942) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.134507973375254 × 6371000     		du = 82.1643946080206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43589231)-sin(1.43587942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134495200501809-0.134507973375254)×R²
    abs(-2.10040319--2.10049907)×1.27728734450328e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.27728734450328e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.27728734450328e-05×40589641000000     		ar = 6747.19965310073m²