Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108589 / 101669
↖ ↑ ↗
← S 69.935012°
E118.248596°		 ← 104.79 m → S 69.935012°
E118.251343°		 →
↑
104.74 m
↓
↑
104.74 m
↓
S 69.935954°
E118.248596°		 ← 104.78 m →
10 975 m²		 S 69.935954°
E118.251343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828472137451172 y=0.775676727294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828472137451172 × 217)
    floor (0.828472137451172 × 131072)
    floor (108589.5)     		tx = 108589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775676727294922 × 217)
    floor (0.775676727294922 × 131072)
    floor (101669.5)     		ty = 101669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108589 / 101669 ti = "17/108589/101669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108589/101669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108589 ÷ 217
    108589 ÷ 131072     		x = 0.828468322753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101669 ÷ 217
    101669 ÷ 131072     		y = 0.775672912597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828468322753906 × 2 - 1) × π
    0.656936645507812 × 3.1415926535     		Λ = 2.06382734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775672912597656 × 2 - 1) × π
    -0.551345825195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.73210399397149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06382734} λ = 2.06382734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73210399397149))-π/2
    2×atan(0.176911796765487)-π/2
    2×0.175100050115943-π/2
    0.350200100231887-1.57079632675     		φ = -1.22059623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06382734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.248596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22059623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.935012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108589 KachelY 101669 2.06382734 -1.22059623 118.248596 -69.935012
    Oben rechts KachelX + 1 108590 KachelY 101669 2.06387528 -1.22059623 118.251343 -69.935012
    Unten links KachelX 108589 KachelY + 1 101670 2.06382734 -1.22061267 118.248596 -69.935954
    Unten rechts KachelX + 1 108590 KachelY + 1 101670 2.06387528 -1.22061267 118.251343 -69.935954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22059623--1.22061267) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dl = 104.739240000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22059623--1.22061267) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dr = 104.739240000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06382734-2.06387528) × cos(-1.22059623) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343085766058655 × 6371000     		do = 104.787223981863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06382734-2.06387528) × cos(-1.22061267) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343070323853196 × 6371000     		du = 104.782507534833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22059623)-sin(-1.22061267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343085766058655-0.343070323853196)×R²
    abs(2.06387528-2.06382734)×1.54422054592374e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54422054592374e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54422054592374e-05×40589641000000     		ar = 10975.0872034004m²