Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108581 / 42271
↖ ↑ ↗
← N 53.698333°
E118.226623°		 ← 180.82 m → N 53.698333°
E118.229370°		 →
↑
180.81 m
↓
↑
180.81 m
↓
N 53.696707°
E118.226623°		 ← 180.83 m →
32 695 m²		 N 53.696707°
E118.229370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828411102294922 y=0.322505950927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828411102294922 × 217)
    floor (0.828411102294922 × 131072)
    floor (108581.5)     		tx = 108581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322505950927734 × 217)
    floor (0.322505950927734 × 131072)
    floor (42271.5)     		ty = 42271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108581 / 42271 ti = "17/108581/42271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108581/42271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108581 ÷ 217
    108581 ÷ 131072     		x = 0.828407287597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42271 ÷ 217
    42271 ÷ 131072     		y = 0.322502136230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828407287597656 × 2 - 1) × π
    0.656814575195312 × 3.1415926535     		Λ = 2.06344384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322502136230469 × 2 - 1) × π
    0.354995727539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.11525196966061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06344384} λ = 2.06344384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11525196966061))-π/2
    2×atan(3.05033667465649)-π/2
    2×1.25400451659793-π/2
    2.50800903319587-1.57079632675     		φ = 0.93721271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06344384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.226623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93721271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.698333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108581 KachelY 42271 2.06344384 0.93721271 118.226623 53.698333
    Oben rechts KachelX + 1 108582 KachelY 42271 2.06349178 0.93721271 118.229370 53.698333
    Unten links KachelX 108581 KachelY + 1 42272 2.06344384 0.93718433 118.226623 53.696707
    Unten rechts KachelX + 1 108582 KachelY + 1 42272 2.06349178 0.93718433 118.229370 53.696707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93721271-0.93718433) × R
    2.8379999999939e-05 × 6371000     		dl = 180.808979999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93721271-0.93718433) × R
    2.8379999999939e-05 × 6371000     		dr = 180.808979999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06344384-2.06349178) × cos(0.93721271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592036629708407 × 6371000     		do = 180.823225735678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06344384-2.06349178) × cos(0.93718433) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592059501225734 × 6371000     		du = 180.830211285782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93721271)-sin(0.93718433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592036629708407-0.592059501225734)×R²
    abs(2.06349178-2.06344384)×2.28715173263838e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28715173263838e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28715173263838e-05×40589641000000     		ar = 32695.094532828m²