Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108578 / 42272
↖ ↑ ↗
← N 53.696707°
E118.218384°		 ← 180.83 m → N 53.696707°
E118.221130°		 →
↑
180.87 m
↓
↑
180.87 m
↓
N 53.695080°
E118.218384°		 ← 180.84 m →
32 708 m²		 N 53.695080°
E118.221130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828388214111328 y=0.322513580322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828388214111328 × 217)
    floor (0.828388214111328 × 131072)
    floor (108578.5)     		tx = 108578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322513580322266 × 217)
    floor (0.322513580322266 × 131072)
    floor (42272.5)     		ty = 42272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108578 / 42272 ti = "17/108578/42272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108578/42272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108578 ÷ 217
    108578 ÷ 131072     		x = 0.828384399414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42272 ÷ 217
    42272 ÷ 131072     		y = 0.322509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828384399414062 × 2 - 1) × π
    0.656768798828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.06330003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322509765625 × 2 - 1) × π
    0.35498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11520403276099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06330003} λ = 2.06330003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11520403276099))-π/2
    2×atan(3.05019045447821)-π/2
    2×1.25399032612351-π/2
    2.50798065224703-1.57079632675     		φ = 0.93718433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06330003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.218384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93718433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.696707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108578 KachelY 42272 2.06330003 0.93718433 118.218384 53.696707
    Oben rechts KachelX + 1 108579 KachelY 42272 2.06334797 0.93718433 118.221130 53.696707
    Unten links KachelX 108578 KachelY + 1 42273 2.06330003 0.93715594 118.218384 53.695080
    Unten rechts KachelX + 1 108579 KachelY + 1 42273 2.06334797 0.93715594 118.221130 53.695080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93718433-0.93715594) × R
    2.83899999999893e-05 × 6371000     		dl = 180.872689999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93718433-0.93715594) × R
    2.83899999999893e-05 × 6371000     		dr = 180.872689999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06330003-2.06334797) × cos(0.93718433) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592059501225734 × 6371000     		do = 180.830211285782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06330003-2.06334797) × cos(0.93715594) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592082380324976 × 6371000     		du = 180.837199151599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93718433)-sin(0.93715594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592059501225734-0.592082380324976)×R²
    abs(2.06334797-2.06330003)×2.28790992418126e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28790992418126e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28790992418126e-05×40589641000000     		ar = 32707.878707863m²