Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108570 / 42274
↖ ↑ ↗
← N 53.693454°
E118.196411°		 ← 180.84 m → N 53.693454°
E118.199158°		 →
↑
180.81 m
↓
↑
180.81 m
↓
N 53.691828°
E118.196411°		 ← 180.85 m →
32 699 m²		 N 53.691828°
E118.199158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828327178955078 y=0.322528839111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828327178955078 × 217)
    floor (0.828327178955078 × 131072)
    floor (108570.5)     		tx = 108570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322528839111328 × 217)
    floor (0.322528839111328 × 131072)
    floor (42274.5)     		ty = 42274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108570 / 42274 ti = "17/108570/42274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108570/42274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108570 ÷ 217
    108570 ÷ 131072     		x = 0.828323364257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42274 ÷ 217
    42274 ÷ 131072     		y = 0.322525024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828323364257812 × 2 - 1) × π
    0.656646728515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.06291654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322525024414062 × 2 - 1) × π
    0.354949951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11510815896175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06291654} λ = 2.06291654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11510815896175))-π/2
    2×atan(3.04989803514884)-π/2
    2×1.25396194353001-π/2
    2.50792388706002-1.57079632675     		φ = 0.93712756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06291654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.196411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93712756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.693454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108570 KachelY 42274 2.06291654 0.93712756 118.196411 53.693454
    Oben rechts KachelX + 1 108571 KachelY 42274 2.06296448 0.93712756 118.199158 53.693454
    Unten links KachelX 108570 KachelY + 1 42275 2.06291654 0.93709918 118.196411 53.691828
    Unten rechts KachelX + 1 108571 KachelY + 1 42275 2.06296448 0.93709918 118.199158 53.691828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93712756-0.93709918) × R
    2.8379999999939e-05 × 6371000     		dl = 180.808979999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93712756-0.93709918) × R
    2.8379999999939e-05 × 6371000     		dr = 180.808979999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06291654-2.06296448) × cos(0.93712756) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.592105250888397 × 6371000     		do = 180.844184412031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06291654-2.06296448) × cos(0.93709918) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.592128120974923 × 6371000     		du = 180.851169525132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93712756)-sin(0.93709918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592105250888397-0.592128120974923)×R²
    abs(2.06296448-2.06291654)×2.28700865255727e-05×R²
    4.79400000004127e-05×2.28700865255727e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×2.28700865255727e-05×40589641000000     		ar = 32698.8840101615m²