Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10857 / 4654
↖ ↑ ↗
← N 82.275001°
W120.360718°		 ← 82.11 m → N 82.275001°
W120.355225°		 →
↑
82.12 m
↓
↑
82.12 m
↓
N 82.274262°
W120.360718°		 ← 82.12 m →
6 743 m²		 N 82.274262°
W120.355225°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165672302246094 y=0.0710220336914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165672302246094 × 216)
    floor (0.165672302246094 × 65536)
    floor (10857.5)     		tx = 10857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0710220336914062 × 216)
    floor (0.0710220336914062 × 65536)
    floor (4654.5)     		ty = 4654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10857 / 4654 ti = "16/10857/4654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10857/4654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10857 ÷ 216
    10857 ÷ 65536     		x = 0.165664672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4654 ÷ 216
    4654 ÷ 65536     		y = 0.071014404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165664672851562 × 2 - 1) × π
    -0.668670654296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.10069082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.071014404296875 × 2 - 1) × π
    0.85797119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.69539599183652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10069082} λ = -2.10069082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69539599183652))-π/2
    2×atan(14.8113827788259)-π/2
    2×1.503382993196-π/2
    3.00676598639199-1.57079632675     		φ = 1.43596966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10069082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.360718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43596966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.275001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10857 KachelY 4654 -2.10069082 1.43596966 -120.360718 82.275001
    Oben rechts KachelX + 1 10858 KachelY 4654 -2.10059494 1.43596966 -120.355225 82.275001
    Unten links KachelX 10857 KachelY + 1 4655 -2.10069082 1.43595677 -120.360718 82.274262
    Unten rechts KachelX + 1 10858 KachelY + 1 4655 -2.10059494 1.43595677 -120.355225 82.274262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43596966-1.43595677) × R
    1.28900000000431e-05 × 6371000     		dl = 82.1221900002749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43596966-1.43595677) × R
    1.28900000000431e-05 × 6371000     		dr = 82.1221900002749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10069082--2.10059494) × cos(1.43596966) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.134418552882687 × 6371000     		do = 82.1097719677937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10069082--2.10059494) × cos(1.43595677) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.134431325890197 × 6371000     		du = 82.1175743783355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43596966)-sin(1.43595677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134418552882687-0.134431325890197)×R²
    abs(-2.10059494--2.10069082)×1.27730075105137e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.27730075105137e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.27730075105137e-05×40589641000000     		ar = 6743.35467006429m²