Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108569 / 100015
↖ ↑ ↗
← S 68.317131°
E118.193664°		 ← 112.85 m → S 68.317131°
E118.196411°		 →
↑
112.83 m
↓
↑
112.83 m
↓
S 68.318146°
E118.193664°		 ← 112.84 m →
12 732 m²		 S 68.318146°
E118.196411°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828319549560547 y=0.763057708740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828319549560547 × 217)
    floor (0.828319549560547 × 131072)
    floor (108569.5)     		tx = 108569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763057708740234 × 217)
    floor (0.763057708740234 × 131072)
    floor (100015.5)     		ty = 100015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108569 / 100015 ti = "17/108569/100015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108569/100015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108569 ÷ 217
    108569 ÷ 131072     		x = 0.828315734863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100015 ÷ 217
    100015 ÷ 131072     		y = 0.763053894042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828315734863281 × 2 - 1) × π
    0.656631469726562 × 3.1415926535     		Λ = 2.06286860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763053894042969 × 2 - 1) × π
    -0.526107788085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.65281636199992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06286860} λ = 2.06286860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65281636199992))-π/2
    2×atan(0.191509787501341)-π/2
    2×0.189218725340238-π/2
    0.378437450680475-1.57079632675     		φ = -1.19235888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06286860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.193664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19235888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.317131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108569 KachelY 100015 2.06286860 -1.19235888 118.193664 -68.317131
    Oben rechts KachelX + 1 108570 KachelY 100015 2.06291654 -1.19235888 118.196411 -68.317131
    Unten links KachelX 108569 KachelY + 1 100016 2.06286860 -1.19237659 118.193664 -68.318146
    Unten rechts KachelX + 1 108570 KachelY + 1 100016 2.06291654 -1.19237659 118.196411 -68.318146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19235888--1.19237659) × R
    1.77100000000596e-05 × 6371000     		dl = 112.83041000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19235888--1.19237659) × R
    1.77100000000596e-05 × 6371000     		dr = 112.83041000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06286860-2.06291654) × cos(-1.19235888) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369468929286165 × 6371000     		do = 112.845321134161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06286860-2.06291654) × cos(-1.19237659) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369452472333197 × 6371000     		du = 112.840294757122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19235888)-sin(-1.19237659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369468929286165-0.369452472333197)×R²
    abs(2.06291654-2.06286860)×1.64569529684799e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64569529684799e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64569529684799e-05×40589641000000     		ar = 12732.1002865773m²