Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108568 / 42392
↖ ↑ ↗
← N 53.501117°
E118.190918°		 ← 181.67 m → N 53.501117°
E118.193664°		 →
↑
181.70 m
↓
↑
181.70 m
↓
N 53.499483°
E118.190918°		 ← 181.68 m →
33 010 m²		 N 53.499483°
E118.193664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828311920166016 y=0.323429107666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828311920166016 × 217)
    floor (0.828311920166016 × 131072)
    floor (108568.5)     		tx = 108568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323429107666016 × 217)
    floor (0.323429107666016 × 131072)
    floor (42392.5)     		ty = 42392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108568 / 42392 ti = "17/108568/42392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108568/42392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108568 ÷ 217
    108568 ÷ 131072     		x = 0.82830810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42392 ÷ 217
    42392 ÷ 131072     		y = 0.32342529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82830810546875 × 2 - 1) × π
    0.6566162109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.06282066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32342529296875 × 2 - 1) × π
    0.3531494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10945160480658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06282066} λ = 2.06282066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10945160480658))-π/2
    2×atan(3.03269482306602)-π/2
    2×1.25228348633512-π/2
    2.50456697267025-1.57079632675     		φ = 0.93377065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06282066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.190918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93377065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.501117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108568 KachelY 42392 2.06282066 0.93377065 118.190918 53.501117
    Oben rechts KachelX + 1 108569 KachelY 42392 2.06286860 0.93377065 118.193664 53.501117
    Unten links KachelX 108568 KachelY + 1 42393 2.06282066 0.93374213 118.190918 53.499483
    Unten rechts KachelX + 1 108569 KachelY + 1 42393 2.06286860 0.93374213 118.193664 53.499483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93377065-0.93374213) × R
    2.85200000000874e-05 × 6371000     		dl = 181.700920000557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93377065-0.93374213) × R
    2.85200000000874e-05 × 6371000     		dr = 181.700920000557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06282066-2.06286860) × cos(0.93377065) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594807111282335 × 6371000     		do = 181.66940212055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06282066-2.06286860) × cos(0.93374213) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594830037368895 × 6371000     		du = 181.676404337503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93377065)-sin(0.93374213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594807111282335-0.594830037368895)×R²
    abs(2.06286860-2.06282066)×2.29260865600711e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29260865600711e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29260865600711e-05×40589641000000     		ar = 33010.1336580572m²