Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108568 / 101640
↖ ↑ ↗
← S 69.907667°
E118.190918°		 ← 104.92 m → S 69.907667°
E118.193664°		 →
↑
104.93 m
↓
↑
104.93 m
↓
S 69.908611°
E118.190918°		 ← 104.92 m →
11 009 m²		 S 69.908611°
E118.193664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828311920166016 y=0.775455474853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828311920166016 × 217)
    floor (0.828311920166016 × 131072)
    floor (108568.5)     		tx = 108568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775455474853516 × 217)
    floor (0.775455474853516 × 131072)
    floor (101640.5)     		ty = 101640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108568 / 101640 ti = "17/108568/101640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108568/101640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108568 ÷ 217
    108568 ÷ 131072     		x = 0.82830810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101640 ÷ 217
    101640 ÷ 131072     		y = 0.77545166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82830810546875 × 2 - 1) × π
    0.6566162109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.06282066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77545166015625 × 2 - 1) × π
    -0.5509033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73071382388251
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06282066} λ = 2.06282066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73071382388251))-π/2
    2×atan(0.177157905280451)-π/2
    2×0.175338679660522-π/2
    0.350677359321045-1.57079632675     		φ = -1.22011897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06282066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.190918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22011897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.907667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108568 KachelY 101640 2.06282066 -1.22011897 118.190918 -69.907667
    Oben rechts KachelX + 1 108569 KachelY 101640 2.06286860 -1.22011897 118.193664 -69.907667
    Unten links KachelX 108568 KachelY + 1 101641 2.06282066 -1.22013544 118.190918 -69.908611
    Unten rechts KachelX + 1 108569 KachelY + 1 101641 2.06286860 -1.22013544 118.193664 -69.908611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22011897--1.22013544) × R
    1.64700000000462e-05 × 6371000     		dl = 104.930370000294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22011897--1.22013544) × R
    1.64700000000462e-05 × 6371000     		dr = 104.930370000294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06282066-2.06286860) × cos(-1.22011897) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343534019233932 × 6371000     		do = 104.924132039629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06282066-2.06286860) × cos(-1.22013544) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343518551547698 × 6371000     		du = 104.919407810115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22011897)-sin(-1.22013544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343534019233932-0.343518551547698)×R²
    abs(2.06286860-2.06282066)×1.54676862339498e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54676862339498e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54676862339498e-05×40589641000000     		ar = 11009.4801395044m²