Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108566 / 42420
↖ ↑ ↗
← N 53.455349°
E118.185425°		 ← 181.87 m → N 53.455349°
E118.188172°		 →
↑
181.89 m
↓
↑
181.89 m
↓
N 53.453714°
E118.185425°		 ← 181.87 m →
33 081 m²		 N 53.453714°
E118.188172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828296661376953 y=0.323642730712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828296661376953 × 217)
    floor (0.828296661376953 × 131072)
    floor (108566.5)     		tx = 108566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323642730712891 × 217)
    floor (0.323642730712891 × 131072)
    floor (42420.5)     		ty = 42420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108566 / 42420 ti = "17/108566/42420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108566/42420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108566 ÷ 217
    108566 ÷ 131072     		x = 0.828292846679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42420 ÷ 217
    42420 ÷ 131072     		y = 0.323638916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828292846679688 × 2 - 1) × π
    0.656585693359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.06272479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323638916015625 × 2 - 1) × π
    0.35272216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10810937161722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06272479} λ = 2.06272479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10810937161722))-π/2
    2×atan(3.02862697003568)-π/2
    2×1.25188408601881-π/2
    2.50376817203762-1.57079632675     		φ = 0.93297185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06272479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.185425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93297185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.455349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108566 KachelY 42420 2.06272479 0.93297185 118.185425 53.455349
    Oben rechts KachelX + 1 108567 KachelY 42420 2.06277273 0.93297185 118.188172 53.455349
    Unten links KachelX 108566 KachelY + 1 42421 2.06272479 0.93294330 118.185425 53.453714
    Unten rechts KachelX + 1 108567 KachelY + 1 42421 2.06277273 0.93294330 118.188172 53.453714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93297185-0.93294330) × R
    2.85500000000161e-05 × 6371000     		dl = 181.892050000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93297185-0.93294330) × R
    2.85500000000161e-05 × 6371000     		dr = 181.892050000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06272479-2.06277273) × cos(0.93297185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.59544905157191 × 6371000     		do = 181.865467208529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06272479-2.06277273) × cos(0.93294330) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.595471988201416 × 6371000     		du = 181.872472645569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93297185)-sin(0.93294330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59544905157191-0.595471988201416)×R²
    abs(2.06277273-2.06272479)×2.29366295060318e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29366295060318e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29366295060318e-05×40589641000000     		ar = 33080.5197736561m²