Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108564 / 42422
↖ ↑ ↗
← N 53.452078°
E118.179932°		 ← 181.84 m → N 53.452078°
E118.182678°		 →
↑
181.89 m
↓
↑
181.89 m
↓
N 53.450443°
E118.179932°		 ← 181.85 m →
33 076 m²		 N 53.450443°
E118.182678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828281402587891 y=0.323657989501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828281402587891 × 217)
    floor (0.828281402587891 × 131072)
    floor (108564.5)     		tx = 108564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323657989501953 × 217)
    floor (0.323657989501953 × 131072)
    floor (42422.5)     		ty = 42422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108564 / 42422 ti = "17/108564/42422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108564/42422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108564 ÷ 217
    108564 ÷ 131072     		x = 0.828277587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42422 ÷ 217
    42422 ÷ 131072     		y = 0.323654174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828277587890625 × 2 - 1) × π
    0.65655517578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.06262892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323654174804688 × 2 - 1) × π
    0.352691650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10801349781798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06262892} λ = 2.06262892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10801349781798))-π/2
    2×atan(3.02833661798038)-π/2
    2×1.25185554093791-π/2
    2.50371108187582-1.57079632675     		φ = 0.93291476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06262892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.179932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93291476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.452078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108564 KachelY 42422 2.06262892 0.93291476 118.179932 53.452078
    Oben rechts KachelX + 1 108565 KachelY 42422 2.06267685 0.93291476 118.182678 53.452078
    Unten links KachelX 108564 KachelY + 1 42423 2.06262892 0.93288621 118.179932 53.450443
    Unten rechts KachelX + 1 108565 KachelY + 1 42423 2.06267685 0.93288621 118.182678 53.450443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93291476-0.93288621) × R
    2.8549999999905e-05 × 6371000     		dl = 181.892049999395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93291476-0.93288621) × R
    2.8549999999905e-05 × 6371000     		dr = 181.892049999395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06262892-2.06267685) × cos(0.93291476) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.59549491631196 × 6371000     		do = 181.841536499812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06262892-2.06267685) × cos(0.93288621) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.595517851970876 × 6371000     		du = 181.848540179177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93291476)-sin(0.93288621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59549491631196-0.595517851970876)×R²
    abs(2.06267685-2.06262892)×2.2935658915868e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.2935658915868e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.2935658915868e-05×40589641000000     		ar = 33076.1668081054m²