Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108561 / 42413
↖ ↑ ↗
← N 53.466796°
E118.171692°		 ← 181.78 m → N 53.466796°
E118.174438°		 →
↑
181.83 m
↓
↑
181.83 m
↓
N 53.465161°
E118.171692°		 ← 181.79 m →
33 053 m²		 N 53.465161°
E118.174438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828258514404297 y=0.323589324951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828258514404297 × 217)
    floor (0.828258514404297 × 131072)
    floor (108561.5)     		tx = 108561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323589324951172 × 217)
    floor (0.323589324951172 × 131072)
    floor (42413.5)     		ty = 42413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108561 / 42413 ti = "17/108561/42413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108561/42413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108561 ÷ 217
    108561 ÷ 131072     		x = 0.828254699707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42413 ÷ 217
    42413 ÷ 131072     		y = 0.323585510253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828254699707031 × 2 - 1) × π
    0.656509399414062 × 3.1415926535     		Λ = 2.06248511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323585510253906 × 2 - 1) × π
    0.352828979492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.10844492991456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06248511} λ = 2.06248511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10844492991456))-π/2
    2×atan(3.02964342147485)-π/2
    2×1.25198397648863-π/2
    2.50396795297727-1.57079632675     		φ = 0.93317163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06248511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.171692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93317163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.466796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108561 KachelY 42413 2.06248511 0.93317163 118.171692 53.466796
    Oben rechts KachelX + 1 108562 KachelY 42413 2.06253304 0.93317163 118.174438 53.466796
    Unten links KachelX 108561 KachelY + 1 42414 2.06248511 0.93314309 118.171692 53.465161
    Unten rechts KachelX + 1 108562 KachelY + 1 42414 2.06253304 0.93314309 118.174438 53.465161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93317163-0.93314309) × R
    2.85400000000768e-05 × 6371000     		dl = 181.82834000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93317163-0.93314309) × R
    2.85400000000768e-05 × 6371000     		dr = 181.82834000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06248511-2.06253304) × cos(0.93317163) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.595288537822401 × 6371000     		do = 181.778516345291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06248511-2.06253304) × cos(0.93314309) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.595311469812839 × 6371000     		du = 181.785518904443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93317163)-sin(0.93314309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595288537822401-0.595311469812839)×R²
    abs(2.06253304-2.06248511)×2.29319904375691e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29319904375691e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29319904375691e-05×40589641000000     		ar = 33053.1225089713m²