Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108560 / 42256
↖ ↑ ↗
← N 53.722717°
E118.168945°		 ← 180.72 m → N 53.722717°
E118.171692°		 →
↑
180.75 m
↓
↑
180.75 m
↓
N 53.721091°
E118.168945°		 ← 180.73 m →
32 665 m²		 N 53.721091°
E118.171692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828250885009766 y=0.322391510009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828250885009766 × 217)
    floor (0.828250885009766 × 131072)
    floor (108560.5)     		tx = 108560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322391510009766 × 217)
    floor (0.322391510009766 × 131072)
    floor (42256.5)     		ty = 42256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108560 / 42256 ti = "17/108560/42256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108560/42256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108560 ÷ 217
    108560 ÷ 131072     		x = 0.8282470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42256 ÷ 217
    42256 ÷ 131072     		y = 0.3223876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8282470703125 × 2 - 1) × π
    0.656494140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.06243717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3223876953125 × 2 - 1) × π
    0.355224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11597102315491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06243717} λ = 2.06243717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11597102315491))-π/2
    2×atan(3.05253081866012)-π/2
    2×1.25421730793471-π/2
    2.50843461586941-1.57079632675     		φ = 0.93763829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06243717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.168945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93763829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.722717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108560 KachelY 42256 2.06243717 0.93763829 118.168945 53.722717
    Oben rechts KachelX + 1 108561 KachelY 42256 2.06248511 0.93763829 118.171692 53.722717
    Unten links KachelX 108560 KachelY + 1 42257 2.06243717 0.93760992 118.168945 53.721091
    Unten rechts KachelX + 1 108561 KachelY + 1 42257 2.06248511 0.93760992 118.171692 53.721091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93763829-0.93760992) × R
    2.83699999999998e-05 × 6371000     		dl = 180.745269999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93763829-0.93760992) × R
    2.83699999999998e-05 × 6371000     		dr = 180.745269999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06243717-2.06248511) × cos(0.93763829) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.591693596477495 × 6371000     		do = 180.718454557282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06243717-2.06248511) × cos(0.93760992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.591716467082021 × 6371000     		du = 180.725439828593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93763829)-sin(0.93760992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591693596477495-0.591716467082021)×R²
    abs(2.06248511-2.06243717)×2.28706045265481e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28706045265481e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28706045265481e-05×40589641000000     		ar = 32664.6371425776m²