Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108560 / 100017
↖ ↑ ↗
← S 68.319161°
E118.168945°		 ← 112.84 m → S 68.319161°
E118.171692°		 →
↑
112.83 m
↓
↑
112.83 m
↓
S 68.320176°
E118.168945°		 ← 112.83 m →
12 731 m²		 S 68.320176°
E118.171692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828250885009766 y=0.763072967529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828250885009766 × 217)
    floor (0.828250885009766 × 131072)
    floor (108560.5)     		tx = 108560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763072967529297 × 217)
    floor (0.763072967529297 × 131072)
    floor (100017.5)     		ty = 100017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108560 / 100017 ti = "17/108560/100017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108560/100017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108560 ÷ 217
    108560 ÷ 131072     		x = 0.8282470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100017 ÷ 217
    100017 ÷ 131072     		y = 0.763069152832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8282470703125 × 2 - 1) × π
    0.656494140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.06243717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763069152832031 × 2 - 1) × π
    -0.526138305664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.65291223579916
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06243717} λ = 2.06243717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65291223579916))-π/2
    2×atan(0.191491427610551)-π/2
    2×0.189201014934015-π/2
    0.37840202986803-1.57079632675     		φ = -1.19239430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06243717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.168945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19239430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.319161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108560 KachelY 100017 2.06243717 -1.19239430 118.168945 -68.319161
    Oben rechts KachelX + 1 108561 KachelY 100017 2.06248511 -1.19239430 118.171692 -68.319161
    Unten links KachelX 108560 KachelY + 1 100018 2.06243717 -1.19241201 118.168945 -68.320176
    Unten rechts KachelX + 1 108561 KachelY + 1 100018 2.06248511 -1.19241201 118.171692 -68.320176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19239430--1.19241201) × R
    1.77100000000596e-05 × 6371000     		dl = 112.83041000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19239430--1.19241201) × R
    1.77100000000596e-05 × 6371000     		dr = 112.83041000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06243717-2.06248511) × cos(-1.19239430) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369436015264352 × 6371000     		do = 112.835268344692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06243717-2.06248511) × cos(-1.19241201) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369419558079636 × 6371000     		du = 112.830241896872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19239430)-sin(-1.19241201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369436015264352-0.369419558079636)×R²
    abs(2.06248511-2.06243717)×1.64571847164896e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64571847164896e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64571847164896e-05×40589641000000     		ar = 12730.9660222093m²