Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108559 / 100243
↖ ↑ ↗
← S 68.547329°
E118.166199°		 ← 111.70 m → S 68.547329°
E118.168945°		 →
↑
111.68 m
↓
↑
111.68 m
↓
S 68.548333°
E118.166199°		 ← 111.70 m →
12 475 m²		 S 68.548333°
E118.168945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828243255615234 y=0.764797210693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828243255615234 × 217)
    floor (0.828243255615234 × 131072)
    floor (108559.5)     		tx = 108559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764797210693359 × 217)
    floor (0.764797210693359 × 131072)
    floor (100243.5)     		ty = 100243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108559 / 100243 ti = "17/108559/100243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108559/100243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108559 ÷ 217
    108559 ÷ 131072     		x = 0.828239440917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100243 ÷ 217
    100243 ÷ 131072     		y = 0.764793395996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828239440917969 × 2 - 1) × π
    0.656478881835938 × 3.1415926535     		Λ = 2.06238923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764793395996094 × 2 - 1) × π
    -0.529586791992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.66374597511329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06238923} λ = 2.06238923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66374597511329))-π/2
    2×atan(0.189428056596199)-π/2
    2×0.187209873027343-π/2
    0.374419746054686-1.57079632675     		φ = -1.19637658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06238923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.166199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19637658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.547329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108559 KachelY 100243 2.06238923 -1.19637658 118.166199 -68.547329
    Oben rechts KachelX + 1 108560 KachelY 100243 2.06243717 -1.19637658 118.168945 -68.547329
    Unten links KachelX 108559 KachelY + 1 100244 2.06238923 -1.19639411 118.166199 -68.548333
    Unten rechts KachelX + 1 108560 KachelY + 1 100244 2.06243717 -1.19639411 118.168945 -68.548333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19637658--1.19639411) × R
    1.75300000000433e-05 × 6371000     		dl = 111.683630000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19637658--1.19639411) × R
    1.75300000000433e-05 × 6371000     		dr = 111.683630000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06238923-2.06243717) × cos(-1.19637658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365732537425519 × 6371000     		do = 111.704130885193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06238923-2.06243717) × cos(-1.19639411) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365716221847793 × 6371000     		du = 111.699147687793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19637658)-sin(-1.19639411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365732537425519-0.365716221847793)×R²
    abs(2.06243717-2.06238923)×1.63155777251345e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63155777251345e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63155777251345e-05×40589641000000     		ar = 12475.2445527666m²