Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108554 / 100130
↖ ↑ ↗
← S 68.433532°
E118.152466°		 ← 112.25 m → S 68.433532°
E118.155212°		 →
↑
112.26 m
↓
↑
112.26 m
↓
S 68.434541°
E118.152466°		 ← 112.24 m →
12 600 m²		 S 68.434541°
E118.155212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828205108642578 y=0.763935089111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828205108642578 × 217)
    floor (0.828205108642578 × 131072)
    floor (108554.5)     		tx = 108554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763935089111328 × 217)
    floor (0.763935089111328 × 131072)
    floor (100130.5)     		ty = 100130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108554 / 100130 ti = "17/108554/100130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108554/100130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108554 ÷ 217
    108554 ÷ 131072     		x = 0.828201293945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100130 ÷ 217
    100130 ÷ 131072     		y = 0.763931274414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828201293945312 × 2 - 1) × π
    0.656402587890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.06214955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763931274414062 × 2 - 1) × π
    -0.527862548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65832910545622
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06214955} λ = 2.06214955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65832910545622))-π/2
    2×atan(0.190456947857248)-π/2
    2×0.188202936322348-π/2
    0.376405872644696-1.57079632675     		φ = -1.19439045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06214955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.152466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19439045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.433532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108554 KachelY 100130 2.06214955 -1.19439045 118.152466 -68.433532
    Oben rechts KachelX + 1 108555 KachelY 100130 2.06219748 -1.19439045 118.155212 -68.433532
    Unten links KachelX 108554 KachelY + 1 100131 2.06214955 -1.19440807 118.152466 -68.434541
    Unten rechts KachelX + 1 108555 KachelY + 1 100131 2.06219748 -1.19440807 118.155212 -68.434541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19439045--1.19440807) × R
    1.76199999999405e-05 × 6371000     		dl = 112.257019999621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19439045--1.19440807) × R
    1.76199999999405e-05 × 6371000     		dr = 112.257019999621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06214955-2.06219748) × cos(-1.19439045) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.367580345761379 × 6371000     		do = 112.245080569865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06214955-2.06219748) × cos(-1.19440807) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.367563959249359 × 6371000     		du = 112.24007675129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19439045)-sin(-1.19440807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367580345761379-0.367563959249359)×R²
    abs(2.06219748-2.06214955)×1.63865120197393e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63865120197393e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63865120197393e-05×40589641000000     		ar = 12600.0173979632m²