Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108552 / 42232
↖ ↑ ↗
← N 53.761702°
E118.146972°		 ← 180.55 m → N 53.761702°
E118.149719°		 →
↑
180.55 m
↓
↑
180.55 m
↓
N 53.760078°
E118.146972°		 ← 180.56 m →
32 600 m²		 N 53.760078°
E118.149719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828189849853516 y=0.322208404541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828189849853516 × 217)
    floor (0.828189849853516 × 131072)
    floor (108552.5)     		tx = 108552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322208404541016 × 217)
    floor (0.322208404541016 × 131072)
    floor (42232.5)     		ty = 42232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108552 / 42232 ti = "17/108552/42232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108552/42232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108552 ÷ 217
    108552 ÷ 131072     		x = 0.82818603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42232 ÷ 217
    42232 ÷ 131072     		y = 0.32220458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82818603515625 × 2 - 1) × π
    0.6563720703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.06205367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32220458984375 × 2 - 1) × π
    0.3555908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11712150874579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06205367} λ = 2.06205367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11712150874579))-π/2
    2×atan(3.05604473234865)-π/2
    2×1.25455751759433-π/2
    2.50911503518866-1.57079632675     		φ = 0.93831871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06205367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.146972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93831871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.761702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108552 KachelY 42232 2.06205367 0.93831871 118.146972 53.761702
    Oben rechts KachelX + 1 108553 KachelY 42232 2.06210161 0.93831871 118.149719 53.761702
    Unten links KachelX 108552 KachelY + 1 42233 2.06205367 0.93829037 118.146972 53.760078
    Unten rechts KachelX + 1 108553 KachelY + 1 42233 2.06210161 0.93829037 118.149719 53.760078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93831871-0.93829037) × R
    2.83399999999601e-05 × 6371000     		dl = 180.554139999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93831871-0.93829037) × R
    2.83399999999601e-05 × 6371000     		dr = 180.554139999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06205367-2.06210161) × cos(0.93831871) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.591144930162723 × 6371000     		do = 180.55087774208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06205367-2.06210161) × cos(0.93829037) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.591167787987484 × 6371000     		du = 180.557859110122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93831871)-sin(0.93829037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591144930162723-0.591167787987484)×R²
    abs(2.06210161-2.06205367)×2.2857824760858e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2857824760858e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2857824760858e-05×40589641000000     		ar = 32599.8387166102m²