Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108551 / 101673
↖ ↑ ↗
← S 69.938781°
E118.144226°		 ← 104.75 m → S 69.938781°
E118.146972°		 →
↑
104.74 m
↓
↑
104.74 m
↓
S 69.939723°
E118.144226°		 ← 104.74 m →
10 971 m²		 S 69.939723°
E118.146972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828182220458984 y=0.775707244873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828182220458984 × 217)
    floor (0.828182220458984 × 131072)
    floor (108551.5)     		tx = 108551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775707244873047 × 217)
    floor (0.775707244873047 × 131072)
    floor (101673.5)     		ty = 101673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108551 / 101673 ti = "17/108551/101673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108551/101673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108551 ÷ 217
    108551 ÷ 131072     		x = 0.828178405761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101673 ÷ 217
    101673 ÷ 131072     		y = 0.775703430175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828178405761719 × 2 - 1) × π
    0.656356811523438 × 3.1415926535     		Λ = 2.06200574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775703430175781 × 2 - 1) × π
    -0.551406860351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.73229574156997
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06200574} λ = 2.06200574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73229574156997))-π/2
    2×atan(0.176877877605377)-π/2
    2×0.175067160141785-π/2
    0.350134320283569-1.57079632675     		φ = -1.22066201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06200574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.144226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22066201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.938781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108551 KachelY 101673 2.06200574 -1.22066201 118.144226 -69.938781
    Oben rechts KachelX + 1 108552 KachelY 101673 2.06205367 -1.22066201 118.146972 -69.938781
    Unten links KachelX 108551 KachelY + 1 101674 2.06200574 -1.22067845 118.144226 -69.939723
    Unten rechts KachelX + 1 108552 KachelY + 1 101674 2.06205367 -1.22067845 118.146972 -69.939723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22066201--1.22067845) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dl = 104.739240000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22066201--1.22067845) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dr = 104.739240000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06200574-2.06205367) × cos(-1.22066201) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.343023977893965 × 6371000     		do = 104.74649822844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06200574-2.06205367) × cos(-1.22067845) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.343008535317527 × 6371000     		du = 104.741782651951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22066201)-sin(-1.22067845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343023977893965-0.343008535317527)×R²
    abs(2.06205367-2.06200574)×1.54425764383737e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54425764383737e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54425764383737e-05×40589641000000     		ar = 10970.8216643769m²