Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108550 / 100249
↖ ↑ ↗
← S 68.553355°
E118.141479°		 ← 111.67 m → S 68.553355°
E118.144226°		 →
↑
111.68 m
↓
↑
111.68 m
↓
S 68.554360°
E118.141479°		 ← 111.67 m →
12 472 m²		 S 68.554360°
E118.144226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828174591064453 y=0.764842987060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828174591064453 × 217)
    floor (0.828174591064453 × 131072)
    floor (108550.5)     		tx = 108550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764842987060547 × 217)
    floor (0.764842987060547 × 131072)
    floor (100249.5)     		ty = 100249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108550 / 100249 ti = "17/108550/100249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108550/100249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108550 ÷ 217
    108550 ÷ 131072     		x = 0.828170776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100249 ÷ 217
    100249 ÷ 131072     		y = 0.764839172363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828170776367188 × 2 - 1) × π
    0.656341552734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.06195780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764839172363281 × 2 - 1) × π
    -0.529678344726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.66403359651101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06195780} λ = 2.06195780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66403359651101))-π/2
    2×atan(0.189373580868362)-π/2
    2×0.187157283814984-π/2
    0.374314567629968-1.57079632675     		φ = -1.19648176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06195780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.141479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19648176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.553355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108550 KachelY 100249 2.06195780 -1.19648176 118.141479 -68.553355
    Oben rechts KachelX + 1 108551 KachelY 100249 2.06200574 -1.19648176 118.144226 -68.553355
    Unten links KachelX 108550 KachelY + 1 100250 2.06195780 -1.19649929 118.141479 -68.554360
    Unten rechts KachelX + 1 108551 KachelY + 1 100250 2.06200574 -1.19649929 118.144226 -68.554360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19648176--1.19649929) × R
    1.75300000000433e-05 × 6371000     		dl = 111.683630000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19648176--1.19649929) × R
    1.75300000000433e-05 × 6371000     		dr = 111.683630000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06195780-2.06200574) × cos(-1.19648176) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365634642273494 × 6371000     		do = 111.674231185944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06195780-2.06200574) × cos(-1.19649929) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365618326021535 × 6371000     		du = 111.669247782615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19648176)-sin(-1.19649929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365634642273494-0.365618326021535)×R²
    abs(2.06200574-2.06195780)×1.63162519594695e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63162519594695e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63162519594695e-05×40589641000000     		ar = 12471.9052343234m²